Kółko 7 IV 2005 - Wektory

1. Niech punkt S b_{}edzie przeci_{}eciem środkowych trójk _{}ata ABC. Pokazać, że \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 0.

2. Niech A_{1}A_{2} …A_{n} b_{}edzie n-k _{}atem foremnym, a punkt O b_{}edzie środkiem okr_{}egu opisanego na nim. Wykaż, że \overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+…+\overrightarrow{OA_{n}} = 0 oraz \overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\overrightarrow{A_{2}A_{3}}+…+\overrightarrow{A_{n−1} A_{n}}+\overrightarrow{A_{n}A_{1}} = 0.

3. 2n-k _{}at foremny A_{1}A_{2} …A_{2n} jest wpisany w okr _{}ag o promieniu r i środku 0. Jaka jest maksymalna długość wektora b_{}ed _{}acego sum _{}a pewnych spośród wektorów \overrightarrow{OA_{1}}, \overrightarrow{OA_{2}}, …, \overrightarrow{OA_{2n}}?

4. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC leży punkt P. Wykaż, że \overrightarrow{P A}· P (△ P BC) + \overrightarrow{P B}· P (△ P AC) + \overrightarrow{P C} · P (△ P AB) = 0.

5. Na płaszczyźnie dane s _{}a 3 wektory \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}} i \overrightarrow{a_{3}} o długości 1. Wykaż, że można wybrać liczby ε_{1}, ε_{2}, ε_{3} ze zbioru {−1, 1} tak, że długość wektora a_{1}ε_{1} + a_{2}ε_{2} + a_{3}ε_{3} jest nie mniejsza niż 2.

6. Dany jest czworok _{}at ABCD. Niech punkty K, L, M, N b_{}ed _{}a odpowiednio środkami boków AB, BC, CD, DA. Wykaż, że środki boków KM i LN pokrywaj _{}a si_{}e.

7. Gracze A i B graj _{}a w nast_{}epuj _{}ac _{}a gr_{}e. Gracz A podaje graczowi B ci _{}ag wektorów \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, …, \overrightarrow{a_{n}}, wszystkie one leż _{}a w jednej płaszczyźnie i maj _{}a długość 1. B znaj _{}ac te wektory podaje ci _{}ag znaków, czyli ci _{}ag liczb ε_{1}, ε_{2}, …, ε_{n}, ε_{i} ∈ {−1, 1}. Nast_{}epnie gracze rozpatruj _{}a ci _{}ag wektorów \overrightarrow{s_{k}} = ε_{1}\overrightarrow{a_{1}} + ε_{2}\overrightarrow{a_{2}} + … + ε_{k}\overrightarrow{a_{k}}. Wygrywa gracz A jeśli długość któregokolwiek z wektorów s_{i} jest wi_{}eksza niż 3, w przeciwnym razie wygrywa B. Wykaż, że B zawsze może wygrać.