Kółko 22 XI 2004 - kilka zadanek z teorii liczb

1. Oznaczmy przez d(n) liczb_{}e wszystkich dodatnich dzielników liczby n ∈ ℕ (ł _{}acznie z 1 i z n). Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele takich n, dla których \frac{d(n)}{n} jest liczb _{}a naturaln _{}a.

2. Znaleźć nieskończony i niestały ci _{}ag arytemtyczny liczb naturalnych taki, że żaden jego wyraz nie jest ani sum _{}a dwóch kwadratów, ani sum _{}a dwóch sześcianów.

3. Znaleźć najmniejsz _{}a liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a k, któr _{}a można przedstawić w postaci k = 19^{n} − 5^{m} dla pewnych liczb całkowitych dodatnich m, n.

4. Niech a_{1}, a_{2}, …, a_{n} b_{}edzie takim ci _{}agiem arytmetycznym liczb całkowitych, że i | a_{i} dla i = 1, 2, …, n − 1 oraz n ∤ a_{n}. Udowodnić, że n jest pot_{}eg _{}a liczby pierwszej.

5. Czy istnieje nieskończony, różny od stałego ci _{}ag arytmetyczny, ktżego każdy wyraz jest postaci a^{b}, gdzie a i b s _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi oraz b 2?

6. Dane s _{}a liczby naturalne k, n takie, że 0 < k \frac{n^{2}}{4} oraz k nie ma dzielnika pierwszego wi_{}ekszego niż n. Dowieść, że n! dzieli si_{}e przez k.

7. Rozwi _{}azać w liczbach naturalnych x, y 1 równanie

2^{x} − 3^{y} = 7.

8. Dla dowolnej liczby naturalnej n 1 oznaczny przez s(n) sum_{}e wszystkich dodatnich dzielników n. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 iloczyn s(n − 1)s(n)s(n + 1) jest liczb _{}a parzyst _{}a.

9. Dana jest liczba naturalna n > 1 oraz liczba pierwsza p taka, że p − 1 dzieli si_{}e przez n, n^{3} − 1 zaś dzieli si_{}e przez p. Dowieść, że 4p − 3 jest kwadratem liczby całkowitej.