Kółko 11 X 2004 - kilka zadanek z teorii liczb

1. Dane s _{}a liczby naturalne k, n wi_{}eksze od 1, przy czym liczba p = 2k − 1 jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba \binom{n}{2} − \binom{k}{2} jest podzielna przez p, to jest ona podzielna przez p^{2}.

2. Dana jest liczba naturalna k 2 oraz liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{n} spełniaj _{}ace warunki:

a_{1} + 2^{i}a_{2} + 3^{i}a_{3} + … + n^{i}a_{n} = 0

dla i = 1, 2, …, k − 1. Dowieść, że liczba a_{1} + 2^{k}a_{2} + 3^{k}a_{3} + …+ n^{k}a_{n} jest podzielna przez k!.

3. Dowieść, że wśród liczb postaci 50^{n} +(50n+1)^{50}, gdzie n jest liczb _{}a naturaln _{}a, wyst_{}epuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

4. Dowieść, że liczba naturalna n 2 jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej _{}a liczby naturalne a, b, x, y 1 spełniaj _{}ace warunki: a + b = n, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.

5. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich maj _{}acych nast_{}epuj _{}ac _{}a własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje reszt_{}e 1 przy dzieleniu przez trzeci _{}a liczb_{}e.

6. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniaj _{}acych równanie:

x^{2}(y − 1) + y^{2}(x − 1) = 1.

7. Wyznaczyć wszystkie pary (x, y) naturalnych, dla których \frac{x+1}{y} oraz \frac{y+1}{x} s _{}a naturalne.

8. Liczby całkowite dodatnie a, b, c s _{}a parami wzgl_{}ednie pierwsze oraz spełniaj _{}a równanie a^{2} + b^{2} = c^{2}. Liczby a i c s _{}a nieparzyste. Udowodnić, że b + c jest kwadratem liczby całkowitej.

9. Dane s _{}a takie liczby całkowite a i b, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej n liczba 2^{n}a + b jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że a = 0.