Kółko 9 VI 2005 - Sumowanie

Proste przyklady 0a. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} . 0b. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=0}^{n} (−1)^{i} \binom{n}{i}.

0c. Wykaż, że dla n ∈ N zachodzi: ∑ _{i=0}^{n} i(i − 1)\binom{n}{i} = n(n − 1)2^{n−2} .

0d. Wykaż, że dla n ∈ N zachodzi: ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i} ^{2} = \binom{2n}{n}. 0e. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} i^{2}. 0f. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=0}^{n} 2^{i} \binom{n}{i}.

Zadania

1. Wskazać wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych, taki, że

∑_{i=1}^{n} W (i) = n^{3},

lub udowodnić, że taki nie istnieje. 2. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} k · k!.

3. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} \frac{i}{2^{i}}.

4. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} \frac{i^{2}}{2^{i}}.

5. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=0}^{n} (−1)^{i} \binom{n}{i} ^{2}.

6. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{m} i(i + 1) …(i + m).

7. Wykaż, że dla j, k, n ∈ N takich, że n + k j zachodzi: ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i} \binom{k}{j−i} = \binom{n+k}{j}. 8. Oblicz sum_{}e ∑ _{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}}{k+1}.