Kółko 19 V 2005 - Stereometria

1. Wykazać, że pole rzutu prostok _{}atnego sześcianu o kraw_{}edzi 1 na płaszczyzn_{}e jest równe co najwyżej \sqrt{3}.

2. Rozstrzygnij, czy istnieje czworościan, w którym wszystkie ściany s _{}a trójk _{}atami prostok _{}atnymi.

3. Udowodnić, że w dowolnym czworościanie istnieje wierzchołek, przy którym wszystkie k _{}aty płaskie s _{}a ostre.

4. Podstaw _{}a ostrosłupa jest czworok _{}at wypukły. Wykazać, że można ten ostrosłup przeci _{}ać płaszczyzn _{}a nie przecinaj _{}ac _{}a podstawy tak, aby w przekroju otrzymać równoległobok.

5. Niech w, k, s oznaczaj _{}a odpowiednio liczby: wierzchołków, kraw_{}edzi i ścian wielościanu wypukłego. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje wielościan wypukły, w którym:

• (a) w =7, k =15, s=10;

• (b) w =8, k =15, s=9;

• (c) w =13, k =35, s=24;

• (d) w =25, k =37, s=14.

6. Wykaż, że dla każdego wielościanu wypukłego przy oznaczeniach w - liczba wierzchołków, s - liczba ścian zachodz _{}a nierówności: w 2s − 4 i s 2w − 4.