Kółko 12 V 2005 - Stereometria

1. Świat ma kształt sfery. Fredek spogl _{}adaj _{}ac na świat z dowolnego punktu leż _{}acego na zewn _{}atrz świata uszcz_{}eśliwia t_{}e cz_{}eść świata, któr _{}a widzi. 21 stycznia o godzinie 10.00 Fredek spojrzał na świat po raz pierwszy, 21 lutego o godzinie 10.00 spojrzał (być może z innego punktu) po raz drugi i podobnie 21 każdego miesi _{}aca spogl _{}ada na świat o godzinie 10.00. Kiedy najwcześniej Fredek może uszcz_{}eśliwić cały świat?

2. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taki czworościan, którego wszystkie ściany s _{}a trójk _{}atami rozwartok _{}atnymi.

3. Rozważmy cztery proste ł _{}acz _{}ace odpowiednio wierzchołki ze środkami okr_{}egów wpisanych w przeciwległe ściany czworościanu. Wykazać, że jeśli dwie spośród tych prostych przecinaj _{}a si_{}e, to i dwie pozostałe si_{}e przecinaj _{}a.

4. Dany jest czworościan foremny ABCD o kraw_{}edzi 1. Niech K i L b_{}ed _{}a odpowiednio środkami kraw_{}edzi AB i CD. Obliczyć odległość pomi_{}edzy prostymi DK i AL.

5. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje czworościan, który nie jest foremny i który ma trzy osie symetrii.

6. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje 10 płaszczyzn, z których każda rozcina dany czworościan foremny na dwie bryły przystaj _{}ace.