Kółko 8 X 2004 - par_{}e zadań

1. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n ∈ ℕ, n 1 zachodzi nast_{}epuj _{}aca podzielność: n! | 2^{n}(2n + 1)(2n + 3) · . . . · (4n − 1).

2. Wykaż, że dla dowolnych m, n ∈ ℕ, m, n 1 zachodzi nast_{}epuj _{}aca podzielność: (m)!(n)!(m + n)! | (2m)!(2n)!

3. Rozstrzygnij, czy istnieje funkcja f : ℕ → ℕ, taka, że dla każdego n ∈ ℕ zachodzi równość f(f(n)) = 2n.