Kółko 12 V 2005 - Stereometria rozwi _{}azania (narazie niektóre)

1. Świat ma kształt sfery. Fredek spogl _{}adaj _{}ac na świat z dowolnego punktu leż _{}acego na zewn _{}atrz świata uszcz_{}eśliwia t_{}e cz_{}eść świata, któr _{}a widzi. 21 stycznia o godzinie 10.00 Fredek spojrzał na świat po raz pierwszy, 21 lutego o godzinie 10.00 spojrzał (być może z innego punktu) po raz drugi i podobnie 21 każdego miesi _{}aca spogl _{}ada na świat o godzinie 10.00. Kiedy najwcześniej Fredek może uszcz_{}eśliwić cały świat?

Rozwi _{}azanie Fredek może uszcz_{}eśliwić cały świat najwcześniej 21 kwietnia. Przykładem 4 punktów, z których ma patrzeć mog _{}a być wierzchołki czworościanu opisanego na sferze świata. Należy jeszcze pokazać, że nie wystarcz _{}a 3 punkty. Przypuśćmy, że jednak istniej _{}a takie punkty A, B i C. Poprowadźmy przez nie płaszczyzn_{}e π. Niech płaszczyzna λ b_{}edzie równoległa do płaszczyzny π i styczna do sfery świata w punkcie P. Wtedy punkt P nie zostanie na pewno uszcz_{}eśliwiony przez Fredka.

2. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taki czworościan, którego wszystkie ściany s _{}a trójk _{}atami rozwartok _{}atnymi.

Rozwi _{}azanie Tak, istnieje taki czworościan. Skonstruujemy przykładowy. Niech △ABC b_{}edzie rownoramienny (|AB| = |AC|) oraz |∠BAC| = 120^{∘}. Niech punkt D leży wewn _{}atrz △ABC na dwusiecznej k _{}ata BAC tak, że |∠BDC| = 150^{∘}. Teraz, jeżeli ’podniesiemy’ troch_{}e punkt D ponad płaszczyzn_{}e ABC, to powstanie szukany czworościan ABCD o wszystkich ścianach rozwartok _{}atnych.

3. Rozważmy cztery proste ł _{}acz _{}ace odpowiednio wierzchołki ze środkami okr_{}egów wpisanych w przeciwległe ściany czworościanu. Wykazać, że jeśli dwie spośród tych prostych przecinaj _{}a si_{}e, to i dwie pozostałe si_{}e przecinaj _{}a.

4. Dany jest czworościan foremny ABCD o kraw_{}edzi 1. Niech K i L b_{}ed _{}a odpowiednio środkami kraw_{}edzi AB i CD. Obliczyć odległość pomi_{}edzy prostymi DK i AL.

5. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje czworościan, który nie jest foremny i który ma trzy osie symetrii.

Rozwi _{}azanie Tak istnieje. Rozpatrzmy prostopadłościan ABCDA′B′C′D′. Wpisany w niego czworościan ACB′D′ ma 3 osie symetrii (proste ł _{}acz _{}ace środki przeciwległych ścian) i nie jest foremny o ile prostopadłościan nie jest sześcianem.

6. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje 10 płaszczyzn, z których każda rozcina dany czworościan foremny na dwie bryły przystaj _{}ace.

Rozwi _{}azanie Tak, istnieje nieskończenie wiele takich płaszczyzn. Każda płaszczyzna zawieraj _{}aca prost _{}a b_{}ed _{}ac _{}a osi _{}a symetrii bryły dzieli t _{}a brył_{}e na dwie przystaj _{}ace cz_{}esci. Czworościan foremny ma 3 osie symetrii, wi_{}ec dowolna z płaszczyzn zawieraj _{}acych któr _{}aś z tych prostych jest jedn _{}a z szukanych płaszczyzn.