Kółko 10 III 2005 - zadania różne

1. Niech S b_{}edzie zbiorem n różnych punktów na płaszczyźnie. Najkrótsza odległość mi_{}edzy dwoma punktami ze zbioru S wynosi d. Wykazać, że istnieje podzbiór T zbioru S zawieraj _{}acy przynajmniej \frac{n}{7} punktów, taki, że najkrótsza odległość pomi_{}edzy dwoma punktami ze zbioru T wynosi co najmniej d\sqrt{3}.

2. 120 jednostkowych kwadratów zostało rozmieszczonych w prostok _{}acie 20 × 25, ich boki niekoniecznie s _{}a równoległe do boków prostok _{}ata. Wykaż, że można wewn _{}atrz tego prostok _{}ata umieścić koło o średnicy 1 tak, by nie przecinało ono żadnego kwadratu.

3. Znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że n^{2} ∤ n!.

4. Wykaż, że 2^{n+1} | ⌈(\sqrt{3} + 1)^{2n}⌉.

5. W dzielnicy pracuje 100 policjantów. Każdego wieczora pewnych trzech wyrusza na patrol. Rozstrzygnij, czy da si_{}e tak sformowac patrole, by po pewnym czasie każdych dwóch policjantów spotkało si_{}e dokładnie raz na wieczornym patrolu.