Kółko - 19 V 2004

1. Znajdź wszystkie takie pary x, y ∈ ℕ, że liczby x^{2} + y oraz y^{2} + x s _{}a kwadratami liczb naturalnych.

2. W pewnym kraju jest 2004 miast i każde dwa maj _{}a bezpośrednie dwukierunkowe poł _{}aczenie lotnicze. Rozstrzygnij czy można tak ustalić ceny biletów na te poł _{}aczenia, aby koszt każdych dwóch podróży nie przebiegaj _{}acych w taki sam sposób, a polegaj _{}acych na przeleceniu cyklu Hamiltona, czyli jednokrotnym odwiedzeniu wszyskich miast i powrocie do wyróżnionego miasta, z którego podróż si_{}e rozpocz_{}eła, był inny.

3. Niech A oznacza liczb_{}e ci _{}agów liczb naturalnych (niekoniecznie różnych) (a_{1}, a_{2}, …, a_{10}) spełniaj _{}acych równianie:

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + … + \frac{1}{a_{10}}.

Rozstrzygnij, czy liczba A jest parzysta.

4. Na każdym polu nieskończonej szachownicy napisano liczb_{}e całkowit _{}a, przy czym każda napisana liczba wyst_{}epuje na tej szachownicy tylko raz. Dowieść, że dla każdej liczby a ∈ ℝ istniej _{}a takie dwa s _{}asiednie pola szachownicy, że różnica liczb napisanych na tych polach jest wi_{}eksza niż a.

5. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany s _{}a trójk _{}atami rozwartok _{}atnymi.

6. Rozważmy ci _{}ag a_{n} określony nast_{}epuj _{}aco:

a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 11, a_{4} = 15, a_{n+4} = a_{n+3} + a_{n+2} + a_{n+1} + a_{n}.

Rozstrzygnij, czy w ci _{}agu tym wyst_{}epuj _{}a cztery kolejne wyrazy podzielne przez 7.

7. Znajdź ilość rozwi _{}azań układu w a, b ∈ ℝ:

\{ \begin{matrix}2b − a = 2b^{2} \\ 2a − b = 2a^{2}. \end{matrix}