Kółko - 22 IV 2004

1. Wykaż, że dla a, b ∈ ℝ prawdziwa jest nierówność:

a^{6} + a^{2}b^{4} + 1 a^{3} + a^{4}b^{2} + ab^{2}.

2. Sejm musi wybrać pomi_{}edzy n ∈ ℕ planami reform: A_{1}, A_{2}, …, A_{n}. Każdy poseł szereguje je (w myślach) wzgl_{}edem własnych upodobań, np. dla n = 4 może uszeregować A_{3} > A_{2} > A_{4} > A_{1}. Dla każdego i ∈ [1, n] przeprowadzone zostało głosowanie, która opcja jest lepsza, A_{i}, czy A_{i+1} , które zawsze zostawało rozstrzygni_{}ete na korzyść A_{i} (numerujemy opcje cyklicznie, czyli A_{n+1} = A_{1}). Posłowie nie zmieniali zdania w poszczególnych głosowaniach i na wszystkich głosowaniach obecni byli ci sami posłowie. Wyznacz maksymaln _{}a stał _{}a α tak _{}a, że opcja B wygrywa z opcj _{}a C wtedy i tylko wtedy, gdy na opcj_{}e B zagłosuje conajmniej α razy liczba posłów (jak widać byćmoże możliwe s _{}a remisy) i możliwa była zaistniała sytuacja.

3. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych, n ∈ ℕ, n > 1. Wykaż, że istnieje nieskończony w obu kierunkach ci _{}ag arytmetyczny, który nie przyjmuje wartości P (k) dla żadnego k ∈ ℤ.

4. Wykaż, że dla każdego wielomianu P (x) = x^{2} + px + q o współczynnikach całkowitych istnieje wielomian Q(x) = 2x^{2} + rx + s o współczynnikach całkowitych, taki, że zbiory wartości tych wielomianów w punktach całkowitych s _{}a rozł _{}aczne.

5. Pewna liczba liczb naturalnych napisana jest na tablicy. Jeśli a ≠ b, to można zetrzeć z tablicy a i b, a zamiast nich napisać NW D(a, b) i NW W (a, b). Wykaż, że po pewnym czasie liczby przestan _{}a si_{}e zmieniać.

6. Niech S = {1, 2, …, n}, n ∈ ℕ, 2 ∤ n. Niech T ⫅ S, taki, że dla każdych dwóch różnych elementów zbioru T ich suma jest różna od n i od n + 1. Rozstrzygnij jak _{}a maksymaln _{}a moc może mieć zbiór T.