Kółko - 17 III 2004

1. Niech P (x) i Q(x) b_{}ed _{}a wielomianami stopnia 2 o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli dla pewnego x ∈ ℝ wielomian Q(x) przyjmuje wartość całkowit _{}a, to wielomian P (x) dla tego x też przyjmuje wartość całkowit _{}a. Udowodnij, że istniej _{}a liczby n, m ∈ ℤ takie, że P (x) = nQ(x) + m.

2. Znajdź najwi_{}eksze n ∈ ℕ, takie, że istnieje ci _{}ag liczb naturalnych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} nie wszystkich równych zero, taki, że dla dowolnego ci _{}agu ϵ_{1}, ϵ_{2}, …, ϵ_{n} o wyrazach ze zbioru {−1, 0, 1} nie wszystkich równych zero zachodzi n^{3} ∤ ϵ_{1}x_{1} + ϵ_{2}x_{2} + … + ϵ_{n}x_{n}.

3. Niech m, n ∈ ℕ, n m. Wykaż, że zachodzi:

2^{n}n! \frac{(m + n)!}{(m − n)!} (m^{2} + m)^{n}.

4. Sejm musi wybrać pomi_{}edzy trzema planami reform: A, B i C. Każdy poseł szereguje je (w myślach) wzgl_{}edem własnych upodobań, np. A > C > B. Przeprowadzone zostało głosowanie, która opcja jest lepsza, A, czy B, które zostało rozstrzygni_{}ete na korzyść A. Później zostało przeprowadzone głosowanie pomi_{}edzy B i C, w którym zwyci_{}eżyła opcja B. Rozstrzygnij, czy posłowie na pewno zdecyduj _{}a, że plan A jest lepszy niż plan C zakładaj _{}ac, że nie zmieniaj _{}a zdania w trakcie jednego posiedzenienia. Przyjmij, że posłów może być dowolna liczba, byle ci sami byli obecni przy wszystkich głosowaniach.

5. Rozwi _{}aż układ równań w liczbach x, y, z ∈ ℝ:

\{ \begin{matrix}x^{3} = 2y − 1 \\ y^{3} = 2z − 1 \\ z^{3} = 2x − 1. \end{matrix}

6. Danych jest 111 wektorów jednostkowych na płaszczyźnie, których suma jest wektorem zerowym. Wykaż, że można wybrać spośród nich 55 tak, że długość ich sumy jest nie wi_{}eksza niż 1.