Kółko - 19 II 2004

1. Niech P (x) i Q(x) b_{}ed _{}a wielomianami o współczynnikach całkowitych stopnia 2. Jeżeli dla pewnego x ∈ ℝ wielomian Q(x) przyjmuje wartość całkowit _{}a, to wielomian P (x) dla tego x też przyjmuje wartość całkowit _{}a. Udowodnij, że istniej _{}a liczby n, m ∈ ℤ takie, że P (x) = nQ(x)+m.

2. Niech F (n) b_{}edzie n-t _{}a liczb _{}a Fibonacciego. Wykaż, że dla k = 60 i dla każdego n zachodzi 10 | F_{n+k} − F_{n} i dla każdego k < 60 istnieje n takie, że nie zachodzi 10 | F_{n+k} − F_{n}.

3. Rozstrzygnij, dla jakich k ∈ ℤ równanie a^{2}+b^{2} = c^{2}+k ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w liczbach calkowitych.

4. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że istniej _{}a liczby x, y ∈ ℤ spełniaj _{}ace układ równań:

\{ \begin{matrix}p + 1 = 2x^{2} \\ p^{2} + 1 = 2y^{2} \end{matrix}

5. Niech A b_{}edzie zbiorem liczb wyrażalnych w postaci a^{2} + 2b^{2}, gdzie b ≠ 0. Niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a. Wykaż, że jeżeli p^{2} ∈ A, to p ∈ A.

6. Dla jakich α ∈ ℝ istnieje nie stała funkcja f : ℝ → ℝ spełniaj _{}aca dla każdego x ∈ ℝ równość f(α(x + y)) = f(x) + f(y)?

7. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych dodatnich. Wykaż, że dla każdych x, y ∈ ℝ zachodzi nierówność P (xy)^{2} P (x^{2})P (y^{2}).

8. Niech n, m ∈ ℕ i n ⊥ m. Rozstrzygnij jakie wartości może przyjmować NW D(5^{m} + 7^{m}, 5^{n} + 7^{n}).

9. Wykaż, że dla każdego x ∈ ℝ dla nieskończenie wielu n ∈ ℕ zachodzi | x − \frac{p_{n}}{q_{n}} |< \frac{1}{q_{n}^{2}} .

10. Niech S(n) dla n ∈ ℕ oznacza sum_{}e cyfr w zapisze dziesi_{}etnym liczby n. Wykaż, że dla n ∈ ℕ zachodzi: S(2n) 2S(n) 10S(2n).