Kółko 7 II 2005 - Kanadyjska i Szwedzka Olimpiada

1. Znajdź wszystkie wielomiany o współczynnikach rzeczywistych spełniaj _{}ace zależność: P (x) + 1 = \frac{P (x−1)+P (x+1)}{2} .

2. Mówimy, że n ∈ ℕ spełnia zależność X jeżeli każda liczba mniejsza od n daje si_{}e przedstawić w postaci sumy różnych dzielników n. Wykazać, że jeżeli n i m spełniaj _{}a zależność X, to również mn spełnia t_{}e zależność.

3. W czworok _{}acie wypukłym ABCD zachodzi AB = BC, ∡CBD = 2∡ADB oraz ∡ABD = 2∡CDB. Wykazać, że AD = DC.

4. Znajdź wszystkie rozwi _{}azania równania n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2} = m^{2} w liczbach naturalnych n, m.

5. Wykazać, że w ci _{}agu x_{1}, x_{2}, …, x_{2000} takim, że dla każdego i x_{i} ∈ ℤ, |x_{i}| 1000 oraz x_{1} + x_{2} + … + x_{1999} + x_{2000} = 1 możemy znaleźć podci _{}ag o sumie 0.

6. Wykaż, że \frac{x^{3}}{yz} + \frac{y^{3}}{zx} + \frac{z^{3}}{xy} x + y + z dla x, y, z ∈ ℝ^{+} .

7. Niech S b_{}edzie zbiorem n różnych punktów na płaszczyźnie. Najkrótsza odległość mi_{}edzy dwoma punktami ze zbioru S wynosi d. Wykazać, że istnieje podzbiór T zbioru S zawieraj _{}acy przynajmniej \frac{n}{7} punktów, taki, że najkrótsza odległość pomi_{}edzy dwoma punktami ze zbioru T wynosi co najmniej d\sqrt{3}.