Kółko 17 I 2004 - Irlandzka Olimpiada

1. Kwadrat magiczny 3 × 3 jest wypełniony liczbami całkowitymi dodatnimi oraz suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu i na każdej z dwóch głównych przek _{}atnych wynosi m ∈ ℤ^{+} . Wykaż, że m musi być podzielne przez 3 oraz, że najwi_{}eksza liczba wyst_{}epuj _{}aca w kwadracie jest nie wi_{}eksza niż \frac{2m}{3} − 1.

2. Każdy wyraz ci _{}agu a_{1}, a_{2}, …, a_{n} należy do zbioru {1, 2, …, n−1} oraz a_{1}+a_{2}+…+a_{n} < 2n. Wykaż, że możemy znaleźć podci _{}ag o sumie równej n.

3. Ci _{}ag (a_{n}) jest zdefiniowany nast_{}epuj _{}aco: a_{1} = 1, a_{2n} = a_{n}, a_{2n+1} = a_{2n} + 1. Znajdź najwi_{}eksz _{}a wartość wśród a_{1}, a_{2}, …, a_{1989} oraz policz ile razy ona wyst_{}epuje.

4. Wykaż, że jeśli dla pewnego n ∈ ℤ^{+} zachodzi a_{n} ∈ {−1, 1} oraz a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + … + a_{n−1} a_{n} + a_{n}a_{1} = 0 to 4 | n.

5. Liczby p_{1} < p_{2} < … < p_{15} s _{}a liczbami pierwszymi tworz _{}acymi ci _{}ag arytmetyczny. Wykaż, że różnica jest wielokrotności _{}a 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13.

6. Rozstrzygnać, czy istnieje taka funkcja f : ℤ^{+} → ℤ^{+} , że dla każdego n > 1 zachodzi f(n) = f(f(n − 1)) + f(f(n + 1)).

7. Prostok _{}at a × b, a, b ∈ ℤ^{+} podzielono na a · b małych kwadracików. Wykaż, że przek _{}atna prostok _{}ata przecina a + b − NW D(a, b) kwadracików. Oblicz ile sześcianików przecina głowna przek _{}atna w prostopadłościanie a × b × c.

8. Znajdź liczb_{}e szachownic n×n (n ∈ ℤ^{+} ustalone) wypełnionych tylko zerami i jedynkami, takich, że w każdej kolumnie i w każdym wierszu suma liczb jest nieparzysta.