Kółko 31 III 2005 - Gry i nie tylko

1. Gracze A i B graj _{}a w gr_{}e. Na tablicy napisana jest pocz _{}atkowo liczba 1. W danym ruchu gracz zmazuje liczb_{}e n z tablicy i pisze now _{}a liczb_{}e k tak _{}a, że 2n k 3n. Wygrywa gracz, który napisze na tablicy liczb_{}e 1000 lub wi_{}eksz _{}a. Pierwszy rusza si_{}e gracz A. Rozstrzygnij który z graczy ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a.

2. Rozstrzygnij, czy istnieje funkcja różnowartościowa i ’na’ f : ℕ → ℕ, taka, że dla każdego n ∈ ℕ f(n) oraz f(n + 1) różni _{}a si_{}e tylko jedn _{}a cyfr _{}a w systemie dwójkowym.

3. Wykaż, że każda liczba całkowita daje si_{}e przedstawić w postaci sumy pi_{}eciu sześcianów liczb całkowitych (niekoniecznie różnych).

4. Gracze A i B maj _{}a nieskończon _{}a ilość monet o nominałach 1zł, 2zł oraz 5zł. Gra polega na tym, że pierwszy na stół monet_{}e kładzie gracz A, a potem kład _{}a na zmian_{}e. Wygrywa ten, po czyim ruchu po raz pierwszy suma monet na stole wyniesie n złotych lub wi_{}ecej. Rozstrzygnij dla jakich n ∈ ℕ gracz A ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a.

5. Wykaż, że w grze w kółko i krzyżyk na pi_{}eć na skończonej kartce nie istnieje strategia wygrywaj _{}aca dla drugiego gracza.