Zadania trudniejsze

Termin: 10.12.2009

1. Rozważmy tablicę liczb całkowitych nieujemnych, rozmiaru n×n o następującej własności: Jeśli liczba znajdująca się w i−tym wierszu i j −tej kolumnie jest równa 0 , to suma wszystkich liczb z i − tego wiersza i j − tej kolumny (każdą liczbę liczymy tylko raz) jest większa równa n. Udowodnij, że suma wszystkich liczb w tablicy jest większa równa \frac{1}{2}n^{2}.

2. Liczby naturalne od 1 do 99 (niekoniecznie różne) zostały wypisane na 99 kartach. Wiemy, że suma liczb w dowolnym podzbiorze kart (łącznie z całym ich zbiorem, wyłączając zbiór pusty) nie jest podzielna przez 100. Pokazać, że na wszystkich kartach jest ta sama liczba.

3. Mamy daną liczbę naturalną n ⩾ 2. Znajdź sposób by przydzielić liczby naturalne do wierzchołków 2^{n} kąta foremnego, tak by spełnione były podane warunki:

(i) liczby składają się jedynie z cyfr 0 i 1; (ii) każda liczba ma dokładnie n cyfr; (iii) liczby są parami różne; (iv) liczby na dwóch sąsiadujących wierzchołkach różnią się dokładnie jedną cyfrą.