Kółko 19 V 2005 - Stereometria (teoria)

Wzór Eulera Niech w, k, s oznaczaj _{}a odpowiednio liczby: wierzchołków, kraw_{}edzi i ścian wielościanu wypukłego. Wtedy zachodzi równość:

w − k + s = 2.

Szkic dowodu Dowód idzie przez spłaszczenie sytuacji, tak, że na płaszczyźnie wystarczy dowieść w−k+s = 2. Nast_{}epnie triangulujemy powstały graf (przy dodaniu 1 kraw_{}edzi zwi_{}eksza si_{}e o 1 l. kraw_{}edzi i o 1 l. ścian). Nast_{}epnie usuwamy po kolei kraw_{}edzie, s _{}a 2 przypadki:

• po usuni_{}eciu 1 kraw_{}edzi znika trójk _{}at, wtedy sciany i kraw_{}edzie zmniejszaj _{}a swoj _{}a liczb_{}e o 1, wi_{}ec ok.

• po usuni_{}eciu 2 kraw_{}edzi znika trójk _{}at, wtedy gin _{}a 2 kraw_{}edzie, 1 ściana i 1 wierzchołek, wi_{}ec ok.

Dochodzimy do pojedynczego trójk _{}ata, który zachowuje równość (3 − 3 + 1 = 1).

Fakt Przy takich samych oznaczeniach zachodz _{}a nierówności: 3s 2k oraz 3w 2k.

Dowód Wykaż_{}e nierówność 3s 2k, drug _{}a nierówność można dowodzić analogicznie, lub skorzystać z nast_{}epnego faktu. Zliczamy kraw_{}edzie po ścianach. Każda ściana ma tych kraw_{}edzi co najmniej 3, wi_{}ec po zsumowaniu wyszlo nam t kraw_{}edzi, gdzie t 3s. Jednak każda kraw_{}edź jest przy dwóch ścianach, wi_{}ec tak naprawde policzyliśmy 2 · k, a wi_{}ec 2 · k = t 3s.

Fakt Bryły A i B nazywamy dualnymi, gdy A powstaje z B poprzez poł _{}aczenie środków s _{}asiednich ścian B kraw_{}edziami. Wtedy środki ścian B staj _{}a si_{}e wierzchołkami A, a wierzchołki B odpowiadaj _{}a ścianom A. Oczywiście wtedy również liczba kraw_{}edzi w A i w B jest taka sama (choćby ze wzoru Eulera). A zatem dowoln _{}a zależność mi_{}edzy s, k i w można przepisać na podobn _{}a tylko z zamienionymi k i w.

Fakt Istnieje dok _{}adnie 5 wielościanów foremnych: czworościan (3, 3), sześcian(4, 3), ośmiościan(3, 4), dwunastościan(5, 3) i dwudziestościan(3, 5). Liczby podane po bryłach to odpowiednio: ilość boków na ścianie i ilość ścian w jednym wierzchołku. Wielościany (a, b) i (b, a) s _{}a wzajemnie dualne. Teraz - dlaczego tylko tyle. Po pierwsze każdy wielościan foremny ma wszystkie ściany b_{}ed _{}ace takimi samymi wielok _{}atami foremnymi i w każdym wierzchołku spotyka si_{}e taka sama ilość wielok _{}atów. A zatem każdy wielościan można przedstawić w formie (a, b). Zauważmy poza tym, że suma k _{}atów w jednym wierzchołku musi być mniejsza ostro niż 180 stopni, oraz musz _{}a sie tam spotykać co najmniej 3 ściany. A zatem ściany mog _{}a być co najwyżej 5-ciok _{}atami. 5ciok _{}atów może być w jednym wierzchołku maksymalnie ⌈\frac{360}{108}⌉−1 = 3, analogicznie czworok _{}atów może być maksymalnie ⌈\frac{360}{90}⌉ − 1 = 3 i trójk _{}atów ⌈\frac{360}{60}⌉ − 1 = 5. A wi_{}ec wielok _{}atów foremnych jest dokładnie 5.