Kółko 9 VI 2005 - Sumowanie - rozwi _{}azania

Rozwi _{}azania

0a. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)} .

Rozwi _{}azanie

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i + 1)} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{1}{i} − \frac{1}{i + 1} ) = 1 − \frac{1}{n + 1}

0b. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=0}^{n} (−1)^{i} \binom{n}{i}.

Rozwi _{}azanie

∑_{i=0}^{n} (−1)^{i} \binom{n}{i} = (1 − 1)^{n} = 0.

0c. Wykaż, że dla n ∈ N zachodzi: ∑ _{i=0}^{n} i(i − 1)\binom{n}{i} = n(n − 1)2^{n−2} .

Rozwi _{}azanie

Rozwi _{}azanie przez bajeczke. Jest grupa n krasnoludków, wybieraj _{}a ekip_{}e do pracy w kopalni.

Chc _{}a wybrać ekip_{}e, szefa i zast_{}epce. Liczymy na ile sposobów mog_{}e wybrać t_{}e ekip_{}e.

I sposób:

Wybieraj _{}a ekip_{}e: \binom{n}{i}, dla i 2, szefa na i sposobów, zast_{}epce na i − 1 sposobów, wiec w sumie wychodzi:

∑_{i=2}^{n} i(i − 1)\binom{n}{i} = ∑_{i=0}^{n} i(i − 1)\binom{n}{i} .

II sposób:

Wybieraj _{}a szefa na n sposobów, zast_{}epce na n − 1 sposobów i dobieraj _{}a reszt_{}e na 2^{n−2} sposobów (każdy z n − 2 krasnali idzie do kopalni, albo nie). Zatem wynik to: n(n − 1)2^{n−2} .

0d. Wykaż, że dla n ∈ N zachodzi: ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i} ^{2} = \binom{2n}{n}.

Rozwi _{}azanie

Niech P (x) = (x + 1)^{n}(x + 1)^{n}. Liczymy na dwa różne sposoby współczynnik przy x^{n}.

I sposób:

Sumujemy po i iloczyny współczynników przy x^{i} w pierwszym nawiasie i współczynników przy x^{n−i} w drugim nawiasie. a_{n} = ∑ _{i=1}^{n} \binom{n}{i} \binom{n}{n−i} = ∑ _{i=1}^{n} \binom{n}{i} ^{2}.

II sposób:

P (x) = (x + 1)^{2n}, wi_{}ec a_{n} = \binom{2n}{n}. ■

0e. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=1}^{n} i^{2}.

Rozwi _{}azanie

Rozwi _{}azujemy tak zwan _{}a metod _{}a zaburzania.

∑_{i=1}^{n} i^{3} = ∑_{i=0}^{n−1} (i + 1)^{3} = ∑_{i=0}^{n−1} i^{3} + ∑_{i=0}^{n−1} 3i^{2} + ∑_{i=0}^{n−1} 3i + ∑_{i=0}^{n−1} 1 =

∑_{i=1}^{n} i^{3} − n^{3} + 3 ∑_{i=1}^{n} i^{2} − 3n^{2} + 3 ∑_{i=1}^{n} i − 3n − n =

∑_{i=1}^{n} i^{3} − n^{3} + 3 ∑_{i=1}^{n} i^{2} − 3n^{2} + 3\frac{n(n + 1)}{2} − 4n

Zatem

∑_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{2n^{3} + 6n^{2} − 3n(n − 1) + 4n}{6} = \frac{2n^{3} + 3n^{2} + n}{6} = \frac{n(n + \frac{1}{2})(n + 1)}{3} .

0f. Oblicz sum_{}e ∑ _{i=0}^{n} 2^{i} \binom{n}{i}.

Rozwi _{}azanie ∑ _{i=0}^{n} 2^{i} \binom{n}{i} = (2 + 1)^{n} = 3^{n}.