Kolorowania

czwartek, 14 stycznia 2010

1. Udowodnij, że: ∑ _{k=0}^{n} 2^{k}\binom{2n−k}{n} = 4^{n}

2. Znajdź wszystkie n takie, że 8^{n} + 1 jest podzielne przez 2^{n} + 1.

3. Niech S b_{}edzie zbiorem 6n punktów na prostej. 4n z nich malujemy na niebiesko, zaś 2n na czerwono. Udowodnij, że istnieje odcinek, zawieraj _{}acy dokładnie 2n niebieskich puntków i dokładnie n czerwonych.

4. Rozwi _{}aż układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{3}

x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2} = xyz(x + y + z)^{3}