Liczby naturalne i pewien ładny trik;)

20.05.2009

1. Udowodnić, że równanie

a^{2} + b^{2} = c^{2} + 1

ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w parami różnych liczbach naturalnych a, b, c.

2. Pokazać, że liczby naturalne m i n s _{}a względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby 2^{m} − 1 i 2^{n} − 1 s _{}a względnie pierwsze.

3. Dana jest liczba naturalna n niepodzielna przez 5 i nieparzysta. Wykaż, że spośród liczb Grabowskiego (składaj _{}acych się w zapisie dziesiętnym wył _{}acznie z jedynek) nieskończenie wiele dzieli się przez n.

4. Rozwi _{}aż układ równań:

\{ \begin{matrix}4xy(2x^{2} − 1) = 1 \\ x^{2} + y^{2} = 1. \end{matrix}

5. Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste x, y, p, q spełniaj _{}a układ równań:

\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} = p^{2} + q^{2} = 1 \\ xp + yq = 0, \end{matrix}

to spełniaj _{}a one także układ równań:

\{ \begin{matrix}x^{2} + p^{2} = y^{2} + q^{2} = 1 \\ xy + pq = 0. \end{matrix}

6. Rozwi _{}aż układ równań:

\{ \begin{matrix}2x + x^{2}y = y \\ 2y + y^{2}z = z \\ 2z + z^{2}x = x \end{matrix}