Kilka zadań troszeczk_{}e trudniejszych od pozostałych

1. Pokazać, że dla liczb całkowitych dodatnich a, n zachodzi podzielność:

n| ∑_{i=0}^{n−1} a^{(i,n)}

gdzie (k, l) oznacza najwi_{}ekszy wspólny dzielnik liczb k i l.

2. Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Dla k = 1, 2, …, n oznaczmy a_{k} = \frac{1}{\binom{n}{k}} oraz b_{k} = 2^{k−n} . Pokazać, że:

\frac{a_{1} − b_{1}}{1} + \frac{a_{2} − b_{2}}{2} + … + \frac{a_{n} − b_{n}}{n} = 0

3. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c zachodzi:

\frac{a}{\sqrt{ab + b^{2}}} + \frac{b}{\sqrt{bc + c^{2}}} + \frac{c}{\sqrt{ca + a^{2}}} \frac{3}{\sqrt{2}}

4. Dana jest kwadratow _{}a szachownica o boku długości 19. Ściśle wewn _{}atrz szachownicy wyszczególniamy kwadratow _{}a szachownic_{}e o boku długości 17. Rozstrzygn _{}ać, czy mniejsz _{}a szachownic_{}e da si_{}e pokryć rozł _{}acznymi prostok _{}atami poziomymi 5 × 1 i pionowymi 1 × 4, umieszczonymi na wi_{}ekszej szachownicy.

5. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x, y, z, t spełniaj _{}ace układ równań:

\{ \begin{matrix}xz − 2yt = 3 \\ xt + yz = 1 \end{matrix}

6. Udowodnić, że istnieje taka liczba całkowita k, że k · 2^{n} + 1 jest złożone dla każdego n 1.

7. Niech P (x), Q(x), R(x), S(x) b_{}ed _{}a takimi wielomianami, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi:

P (x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5}) = (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)S(x)

Pokazać, że P (1) = 0.

8. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC. Niech D, E, F b_{}ed _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu P na proste BC, CA, AB. Niech O b_{}edzie środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie DEF, zaś r jego promieniem. Dowieść, że:

pole(ABC) 3r\sqrt{3r^{2} − 3|OP |^{2}}

9. Dany jest okr _{}ag o i dwa trójk _{}aty weń wpisane. Wycinaj _{}a one z płaszczyzny sześciok _{}at. Pokazać, że główne przek _{}atne tego sześciok _{}ata przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

10. Środkowa AM trójk _{}ata ABC, w którym AB ≠ AC przecina okr _{}ag wpisany ω w K i L. Proste równoległe do BC przechodz _{}ace odpowiednio przez K i L przecinaj _{}a ω ponownie w X i Y. Proste AX i AY przecinaj _{}a bok BC w punktach P i Q. Udowodnij, że BP = CQ.

11. Na płaszczyźnie dane jest koło o promieniu 1. Nakryto je kwadratem o boku 2. Nast_{}epnie podzielono ten kwadrat na 2007 równoległych pasków i wyrzucono jeden z nich. Pokazać, że pozostałymi paskami nie da si_{}e pokryć koła.