Teoria liczb - zadania

0. Pokazać, że jeśli 2^{n} − 1 jest liczb _{}a pierwsz _{}a, to i n jest liczb _{}a pierwsz _{}a.

1. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n dla których liczby n^{n} + 1 i (2n)^{2n} + 1 s _{}a pierwsze.

2. Znaleźć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich (x, y, n) spełniaj _{}ace równanie: (x − y)^{n} = xy

3. Pokazać, że dla liczby pierwszej p i natruralnej n zachodzi p|\binom{np}{p} − n.

4. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p dla ktżych istnieje taka liczba naturalna k, że p|2^{k}+3^{k}+6^{k}−1.

5. Pokazać, że dla każdej liczby pierszej p istnieje co najwyżej jedna liczba pierwsza q, że p|2^{q} − 1.

6. Liczby p, q s _{}a pierwsze. Pokazać, że jeżeli q|\frac{p^{p}−1}{p−1} to i p|q − 1.

7. Znaleźć wszystkie liczby całkowite nieujemne (x, y) spełniaj _{}ace równanie:

1 + 2^{x} + 2^{2x+1} = y^{2}