1 Stożkowe - wykład dla najstarszych

1.1 Fakciki

1. Odcinki mi_{}edzy ogniskiem a punktem styczności tworz _{}a ze styczn _{}a równe k _{}aty.

2. Odbicia ustalonego ogniska wzgl_{}edem stycznej leż _{}a na okr_{}egu o środku w drugim ognisku.

3. Rzuty ognisk na styczne leż _{}a na jednym okr_{}egu.

4. Zbiór punktów z których widać elips_{}e pod k _{}atem prostym jest okr_{}egiem.

5. Iloczyn odległości ognisk od stycznej jest stały.

6. Proste s, t s _{}a styczne do elipsy E o ogniskach K,L w punktach A i B oraz przecinaj _{}a si_{}e w P. Proste AK i BL przecinaj _{}a si_{}e w punkcie Q wówczas QP jest dwusieczn _{}a k _{}ata ∠KQL.

7. Proste s, t s _{}a styczne do elipsy E o ogniskach K,L w punktach A i B oraz przecinaj _{}a si_{}e w P. Wówczas ∠KP A = ∠LP B.

8. Punkty P i Q leż _{}a wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC przy czym ∠P AB = ∠QAC i ∠P BA = ∠QBC. Wówczas ∠P CA = ∠QCB.

9. Dwie sfery s _{}a wpisane w stożek. Wówczas płaszcyzna doń styczna wycina ze stożka elips_{}e o ogniskach w punktach styczności.

1.2 Zadania

1. Dany jet czworościan ABCD. Pokazać, że sfera wpisana jest styczna do ściany BCD w jej ortocentrum wtedy i tylko wtedy, gdy sfera dopisana do ściany BCD jest styczna w środku okr_{}egu opisanego.

2. Dany jest trójk _{}at ABC w którym ∠ABC > 90^{∘}. Punkty P i Q należ _{}a do symetralnej odcinka AB i leż _{}a wewn _{}atrz k _{}ata ACB. Dowieść, że jeżeli ∠ACP = ∠BCQ to ∠P AC = ∠QBC = 180^{∘}.

3. Punkt P leż _{}acy wewn _{}atrz czworok _{}ata wypukłego ABCD ma t_{}e własność, że jego rzuty na boki czworok _{}ata leż _{}a na jednym okr_{}egu. Pokazać, że jest on współliniowy ze środkami przek _{}atnych czworok _{}ata.

4. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym AC = BC. Punkty P i Q leż _{}a wewn _{}atrz tego trójk _{}ata, przy czym ∠P AC = ∠ABQ i ∠P BC = ∠BAQ. Pokazać, że punkty C, P, Q s _{}a współliniowe.

5. W czworok _{}acie ABCD miara k _{}ata wewn_{}etrzego przy wierzchołku A jest wi_{}eksza niż 180^{∘} oraz zachodzi równość AB · CD = AD · BC. Punkt P jest symetryczny do punktu A wzgl_{}edem prostej BD. Udowodnić ∠P CB = ∠ACD.