Nierówności II

-1. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c zachodzi:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{d} \frac{64}{a + b + c + d}

0. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a bokami trójk _{}ata, to zachodzi:

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} < 2

1. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a bokami trójk _{}ata, to zachodzi:

abc 8(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)

2. Liczby rzeczywiste a, b, c należ _{}a do przedziału (0, 1] oraz suma dowolnych dwóch z nich jest wi_{}eksza od 1. Pokazać, że:

\frac{a}{b + c − 1} + \frac{b}{c + a − 1} + \frac{c}{a + b − 1} \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}

3 (LVI OM). Liczby rzeczywiste a, b, c należ _{}a do przedziału [0, 1]. Pokazać, że zachodzi nierówność:

\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} 2

4. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c sumuj _{}acych si_{}e do 1 zachodzi:

a^{2} + b^{2} + c^{2} (1 − a)(1 − b)(1 − c) + abc

5. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c o iloczynie 1 zachodzi:

a^{8} + b^{8} + c^{8} + a^{2}b^{4} + b^{2}c^{4} + c^{2}a^{4} 2(ab^{3} + bc^{3} + ca^{3})

6. Pokazać, że dla liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{c^{2}} + \frac{c}{a^{2}} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

7 (Nierówność Czebyszewa). Pokazać, że jeśli a_{1} a_{2} … a_{n} oraz b_{1} b_{2} … b_{n} s _{}a ci _{}agami liczb rzeczywistych to zachodzi:

n ∑_{i=0}^{n} a_{i}b_{i} (∑_{i=0}^{n} a_{i})(∑_{i=0}^{n} b_{i})

8. Pokazać, że dla a, b, c boków trójk _{}ata zachodzi:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \frac{1}{a + b − c} + \frac{1}{a − b + c} + \frac{1}{−a + b + c}

9. Pokazać, że dla a, b, c boków trójk _{}ata zachodzi:

\sqrt{a + b − c} + \sqrt{a − b + c} + \sqrt{−a + b + c} \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c}

10. Pokazać, że dla a, b, c boków trójk _{}ata o polu P zachodzi:

a^{2} + b^{2} + c^{2} \frac{4}{\sqrt{3}}S

11 (LVII OM). Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c spełniaj _{}acych warunek ab + bc + ca = abc zachodzi:

\frac{a^{4} + b^{4}}{ab(a^{3} + b^{3})} + \frac{b^{4} + c^{4}}{bc(b^{3} + c^{3})} + \frac{c^{4} + a^{4}}{ca(c^{3} + a^{3})} 1