Zawody drużynowe

grupa młodsza środa, 26 września 2007

31. Punkty C i D leż _{}a na półokr_{}egu o średnicy AB, przy czym punkt C leży bliżej A niż punkt D. Niech M,N,P b_{}ed _{}a środkami odpowiednio odcinków AC, BD i CD. Punkt O_{A} jest środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ACP, a punkt O_{B} jest środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie BDP. Pokazać, że O_{A}O_{B}∥MN.

32. Pokazać, że dla każdego n 2 zachodzi:

n(\sqrt{n + 1} − 1) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} 1 + n(1 − \frac{1}{\sqrt[n]{n}})

33. Dane s _{}a dwa okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}ace si_{}e w punktach X i Y. Prosta l jest styczna do o_{1} i o_{2} w punktach odpowiednio A i B. Niech m bedzie prost _{}a styczn _{}a w punkcie X do okr_{}egu opisanego na XAB , a n prost _{}a styczn _{}a w punkcie Y do okr_{}egu opisanego na Y AB. Udowodnij, że proste l, m i n przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

34. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

3(a + b + c) 8\sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}}

35. Pokazać, że dla liczby pierwszej nieparzystej p i liczby całkowitej k p zachodzi:

\binom{k}{p} ≡ ⌊ \frac{k}{p}⌋ mod p

36. Dodatnie liczby niewymierne p, q spełniaj _{}a warunek \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Udowodnić, że dla każdego n ∈ ℕ istnieje takie k ∈ ℕ, że n = ⌊pk⌋ lub n = ⌊qk⌋.

37. W pewnym turnieju wzi_{}eła udział pewna liczba szkół. Każda z nich wystawiła reprezentacj_{}e złożon _{}a z pewnej liczby chłopców i pewnej liczby dziewczynek, przy czym całkowita liczba dziewczynek bior _{}acych udział w turnieju różniła si_{}e od liczby chłopców o 1. Nast_{}epnie rozegrano mecze pomi_{}edzy każdymi dwoma uczestnikami pochodz _{}acymi z różnych szkół. Okazało si_{}e, że liczby meczów pomi_{}edzy uczestnikami różnej płci oraz tej samej płci różniły si_{}e o 1. Wyznaczyć maksymaln _{}a możliw _{}a liczb_{}e szkół, które wystawiły nieparzyst _{}a liczb_{}e reprezentantów.

Zawody drużynowe

grupa starsza środa, 26 września 2007

34. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

3(a + b + c) 8\sqrt[3]{abc}+ \sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}}

35. Pokazać, że dla liczby pierwszej nieparzystej p i liczby całkowitej k p zachodzi:

\binom{k}{p} ≡ ⌊ \frac{k}{p}⌋ mod p

36. Dodatnie liczby niewymierne p, q spełniaj _{}a warunek \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Udowodnić, że dla każdego n ∈ ℕ istnieje takie k ∈ ℕ, że n = ⌊pk⌋ lub n = ⌊qk⌋.

37. W pewnym turnieju wzi_{}eła udział pewna liczba szkół. Każda z nich wystawiła reprezentacj_{}e złożon _{}a z pewnej liczby chłopców i pewnej liczby dziewczynek, przy czym całkowita liczba dziewczynek bior _{}acych udział w turnieju różniła si_{}e od liczby chłopców o 1. Nast_{}epnie rozegrano mecze pomi_{}edzy każdymi dwoma uczestnikami pochodz _{}acymi z różnych szkół. Okazało si_{}e, że liczby meczów pomi_{}edzy uczestnikami różnej płci oraz tej samej płci różniły si_{}e o 1. Wyznaczyć maksymaln _{}a możliw _{}a liczb_{}e szkół, które wystawiły nieparzyst _{}a liczb_{}e reprezentantów.

38. Dane s _{}a dwa okr_{}egi o_{1}, o_{2} przecinaj _{}ace si_{}e w punktach A i B. Niech l b_{}edzie prost _{}a styczn _{}a do o_{1} i o_{2} w punktach odpowiednio X i Y. Styczne w punktach X i Y do okr_{}egu opisanego na AXY przecinaj _{}a si_{}e w punkcie C. Niech B′ b_{}edzie odbiciem punktu B wzgl_{}edem prostej l. Dokazać, że punkty B′,A i C s _{}a współliniowe.

39. Na płaszczyźnie dane jest 9 punktów, z których żadne 3 nie s _{}a współliniowe. Pokazać, że dla każdego z tych punktów liczba trójk _{}atów o wierzchołkach w 3 z pozostałych 8 punktów, do których wn_{}etrza on należy, jest parzysta.

310. Niech ABCD b_{}edzie równoległobokiem. Prosta l, przechodz _{}aca przez punkt A przecina półproste BC i DC odpowiednio w punktach X i Y. Niech K i L b_{}ed _{}a środkami okr_{}egów dopisanych trójk _{}atów ABX i ADY stycznych odpowiednio do boków BX i DY tych trójk _{}atów. Pokazać, że dla ustalonego równoległoboku ABCD miara k _{}ata KCL nie zależy od wyboru prostej l.

311. Znaleźć zbiór wartości liczb x_{0}, x_{1} ∈ R dla których ci _{}ag (x_{n})_{n∈N} zdefiniowany poprzez

x_{n+1} = \frac{x_{n−1} x_{n}}{3x_{n−1} − 2x_{n}} , n 1

zawiera nieskończenie liczb naturalnych.