Analiza - zadania

0. Pokazać, że dla każdego wielomianu P (x) istnieje takie M, że dla x > M zachodzi e^{x} > P (x).

1. Pokazać, że zachodzi nierównośc:

(1 + a)^{x} 1 + ax

dla a −1 i x 1

2. Pokazać, że dla a, b całkowitych dodatnich zachodzi nierówność:

a^{a} + b^{b} ab

3. Pokazać, że dla a dodatniego zachodzi nierówność:

a^{a^{2}} + a^{2a} > 1

4. Liczby rzeczywiste a, b, c należ _{}a do przedziału [0, 1]. Pokazać, że zachodzi nierówność:

\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} 2

5. W czworościanie OABC oznaczmy ∠BOC = α, ∠COA = β oraz ∠AOB = γ. Niech σ b_{}edzie k _{}atem pomi_{}edzy ścianami OAB i OAC, zaś τ pomi_{}edzy ścianami OBA i OBC. Pokazać, że:

γ > β cosσ + α cosτ

.

6. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD. Znaleźć wszystkie takie punkty P należ _{}ace do jego wn_{}etrza, że:

[ABP][CDP] = [BCP][ADP]

7. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) spełniaj _{}ace układ równań:

\{ \begin{matrix}y = \frac{2x^{2}}{1+x^{2}} \\ z = \frac{2y^{2}}{1+y^{2}} \\ x = \frac{2z^{2}}{1+z^{2}} \end{matrix}