Klasóweńka

grupa pierwszoklasistów sobota, 29 września 2007

51. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem n-tego stopnia o współczynnikach wymiernych dla którego zachodzi P (k) = 2^{k} dla k = 0, 1, ..., n. Znaleźć P (n + 1).

52. Udowodnić, że dla każdych liczb rzeczywistych x, y, z > 1 spełniaj _{}acych \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} = 2 zachodzi:

\sqrt{x + y + z} \sqrt{x − 1} + \sqrt{y − 1} + \sqrt{z − 1}

53. W trójk _{}acie ABC okr _{}ag wpisany jest styczny do boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Prosta AD przecina okr _{}ag wpisany ponownie w punkcie K. Pokazać, że prosta EK połowi odcinek AF wtedy i tylko wtedy, gdy AC = BC.

54. Pokazać, że dla liczby pierwszej p:

∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j} \binom{p + j}{j} ≡ 2^{p} + 1 (mod p^{2})

55. W trójk _{}acie ABC punkty I, O_{A}, O_{B}, O_{C} s _{}a odpowiednio środkami okr_{}egów wpisanego i dopisanych stycznych do boków BC, CA, AB. Niech k b_{}edzie prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez I oraz środek ci_{}eżkości trójk _{}ata ABC. Wykazać, że obrazy prostej k w symetriach wzgl_{}edem O_{A}O_{B}, O_{B}O_{C}, O_{C}O_{A} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

Klasóweczka

grupa młodsza sobota, 29 września 2007

52. Udowodnić, że dla każdych liczb rzeczywistych x, y, z > 1 spełniaj _{}acych \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} = 2 zachodzi:

\sqrt{x + y + z} \sqrt{x − 1} + \sqrt{y − 1} + \sqrt{z − 1}

53. W trójk _{}acie ABC okr _{}ag wpisany jest styczny do boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Prosta AD przecina okr _{}ag wpisany ponownie w punkcie K. Pokazać, że prosta EK połowi odcinek AF wtedy i tylko wtedy, gdy AC = BC.

54. Pokazać, że dla liczby pierwszej p:

∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j} \binom{p + j}{j} ≡ 2^{p} + 1 (mod p^{2})

55. W trójk _{}acie ABC punkty I, O_{A}, O_{B}, O_{C} s _{}a odpowiednio środkami okr_{}egów wpisanego i dopisanych stycznych do boków BC, CA, AB. Niech k b_{}edzie prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez I oraz środek ci_{}eżkości trójk _{}ata ABC. Wykazać, że obrazy prostej k w symetriach wzgl_{}edem O_{A}O_{B}, O_{B}O_{C}, O_{C}O_{A} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

57. Rozwi _{}azać układ równań

\frac{1}{xy} = \frac{x}{z} + 1, \frac{1}{yz} = \frac{y}{x} + 1, \frac{1}{xz} = \frac{z}{y} + 1

w liczbach rzeczywistych.

Klasówka

grupa starsza sobota, 29 września 2007

54. Pokazać, że dla liczby pierwszej p:

∑_{j=0}^{p} \binom{p}{j} \binom{p + j}{j} ≡ 2^{p} + 1 (mod p^{2})

55. W trójk _{}acie ABC punkty I, O_{A}, O_{B}, O_{C} s _{}a odpowiednio środkami okr_{}egów wpisanego i dopisanych stycznych do boków BC, CA, AB. Niech k b_{}edzie prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez I oraz środek ci_{}eżkości trójk _{}ata ABC. Wykazać, że obrazy prostej k w symetriach wzgl_{}edem O_{A}O_{B}, O_{B}O_{C}, O_{C}O_{A} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

56. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p, q dla których liczba \frac{(7^{p}−2^{p})(7^{q}−2^{q})}{pq} jest całkowita.

57. Rozwi _{}azać układ równań

\frac{1}{xy} = \frac{x}{z} + 1, \frac{1}{yz} = \frac{y}{x} + 1, \frac{1}{xz} = \frac{z}{y} + 1

w liczbach rzeczywistych.

58. Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{\sqrt{b + c}}{a} + \frac{\sqrt{c + a}}{b} + \frac{\sqrt{a + b}}{c} \frac{4(a + b + c)}{\sqrt{(a + b)(b + c)(c + a)}}

59. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, punkty M i N s _{}a środkami przek _{}atnych odpowiednio BD i AC. Wykazać, że ∠AND = ∠ANB wtedy i tylko wtedy gdy ∠DMA = ∠DMC.

Klasówsko

grupa najstarsza funkcje, 29 tworz _{}ace 2007

51. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem n-tego stopnia o współczynnikach wymiernych dla którego zachodzi P (k) = 2^{k} dla k = 0, 1, ..., n. Znaleźć P (n + 1).

58. Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{\sqrt{b + c}}{a} + \frac{\sqrt{c + a}}{b} + \frac{\sqrt{a + b}}{c} \frac{4(a + b + c)}{\sqrt{(a + b)(b + c)(c + a)}}

59. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, punkty M i N s _{}a środkami przek _{}atnych odpowiednio BD i AC. Wykazać, że ∠AND = ∠ANB wtedy i tylko wtedy gdy ∠DMA = ∠DMC.

510. Dany jest czworościan ABCD. Niech π b_{}edzie płaszczyzn _{}a styczn _{}a w punkcie A do sfery opisanej na ABCD. Niech l_{1}, l_{2}, l_{3} b_{}ed _{}a prostymi wzdłuż których płaszczyzny ABC, ABD i ACD przecinaj _{}a płaszczyzn_{}e π. Udowodnij, że jeżeli l_{1}, l_{2}, l_{3} tworz _{}a ze sob _{}a parami k _{}aty 60^{∘} to iloczyny długości przeciwległych kraw_{}edzi czworościanu ABCD s _{}a równe.

511. Rozstrzygn _{}ać czy istnieje, a jeśli tak to wskazać, wielomian całkowitoliczbowy który nie ma pierwiastka całkowitego, ale ma pierwiastek w dowolnym ciele ℤ_{p}.

512. Zbiór ci _{}agów arytmetycznych {a_{1}k +b_{1}}, {a_{2}k +b_{2}}, …, {a_{n}k +b_{n}} dla a, b, k całkowitych nazywamy pokryciem jeśli każda dodatnie liczba całkowita wyst_{}epuje dokładnie w jednym z nich (np. ci _{}agi {2k}, {4k + 1}, {4k + 3}). Pokazać, że dla każdego pokrycia zachodzi ∑ _{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}} = 1.