Zadania - dzień trzeci

grupa pierwszoklasistów czwartek, 27 września 2007

41. Liczby dodatnie a, b, c spełniaj _{}a nierówność:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \frac{1}{abc}

Pokazać, że spełniaj _{}a też nierówność:

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{b^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{c^{2} + 1}}

42. Niech AD i BE b_{}ed _{}a wysokościami trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC, w którym M jest środkiem boku AB, a ∠ACB = 60^{∘}. Udowodnić, że trójk _{}at MDE jest równoboczny.

43. Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie x, y spełniaj _{}ace równość:

7^{x} − 3 · 2^{y} = 1

44. Trapez równoramienny ABCD, w którym AB∥CD i AB > CD, jest wpisany w okr _{}ag ω o środku w O. Jego przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Punkty M i N leż _{}a odpowiednio na odcinkach AC i BD tak, by 2∠MON = ∠BP C. Udowodnić, że ci_{}eciwa okr_{}egu ω przechodz _{}aca przez punkty M i N ma długość AC.

45. Rozstrzygn _{}ać, czy szachownic_{}e 19×19 z wyci_{}etym rogiem da si_{}e pokryć nast_{}epuj _{}acymi klockami (klocki można obracać, ale nie można odbijać symetrycznie):

(Tu nast_{}epuj _{}a rysunki klocków: prostok _{}at 4 × 1 z dołożonym kwadracikiem po prawej o jeden od góry, kwadrat 2 × 2 z dołożonym kwadracikiem po lewej u dołu oraz prostok _{}at 5 × 1)

Zadania - dzień trzeci

grupa młodsza czwartek, 27 września 2007

41. Liczby dodatnie a, b, c spełniaj _{}a nierówność:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \frac{1}{abc}

Pokazać, że spełniaj _{}a też nierówność:

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{b^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{c^{2} + 1}}

43. Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie x, y spełniaj _{}ace równość:

7^{x} − 3 · 2^{y} = 1

44. Trapez równoramienny ABCD, w którym AB∥CD i AB > CD, jest wpisany w okr _{}ag ω o środku w O. Jego przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Punkty M i N leż _{}a odpowiednio na odcinkach AC i BD tak, by 2∠MON = ∠BP C. Udowodnić, że ci_{}eciwa okr_{}egu ω przechodz _{}aca przez punkty M i N ma długość AC.

45. Rozstrzygn _{}ać, czy szachownic_{}e 19×19 z wyci_{}etym rogiem da si_{}e pokryć nast_{}epuj _{}acymi klockami (klocki można obracać, ale nie można odbijać symetrycznie):

(Tu nast_{}epuj _{}a rysunki klocków: prostok _{}at 4 × 1 z dołożonym kwadracikiem po prawej o jeden od góry, kwadrat 2 × 2 z dołożonym kwadracikiem po lewej u dołu oraz prostok _{}at 5 × 1)

46. Rozstrzygn _{}ać, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sum _{}a trzecich pot_{}eg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Zadania - dzień trzeci

grupa starsza czwartek, 27 września 2007

43. Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie x, y spełniaj _{}ace równość:

7^{x} − 3 · 2^{y} = 1

44. Trapez równoramienny ABCD, w którym AB∥CD i AB > CD, jest wpisany w okr _{}ag ω o środku w O. Jego przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Punkty M i N leż _{}a odpowiednio na odcinkach AC i BD tak, by 2∠MON = ∠BP C. Udowodnić, że ci_{}eciwa okr_{}egu ω przechodz _{}aca przez punkty M i N ma długość AC.

45. Rozstrzygn _{}ać, czy szachownic_{}e 19×19 z wyci_{}etym rogiem da si_{}e pokryć nast_{}epuj _{}acymi klockami (klocki można obracać, ale nie można odbijać symetrycznie):

(Tu nast_{}epuj _{}a rysunki klocków: prostok _{}at 4 × 1 z dołożonym kwadracikiem po prawej o jeden od góry, kwadrat 2 × 2 z dołożonym kwadracikiem po lewej u dołu oraz prostok _{}at 5 × 1)

46. Rozstrzygn _{}ać, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sum _{}a trzecich pot_{}eg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

47. Wewn _{}atrz lub na brzegu koła o promieniu 1 obrano n punktów. Pokazać, że istnieje punkt tego koła, którego suma odległości od tych punktów jest niemniejsza niż n.

48. Dany jest trójk _{}at równoboczny ABC wpisany w okr _{}ag o. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których funkcja f(P) = AP^{n} +BP^{n} +CP^{n} przyjmuje tak _{}a sam _{}a wartość dla wszystkich punktów leż _{}acych na okr_{}egu.

Zadania - dzień trzeci

grupa najstarsza czwartek, 27 września 2007

44. Trapez równoramienny ABCD, w którym AB∥CD i AB > CD, jest wpisany w okr _{}ag ω o środku w O. Jego przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Punkty M i N leż _{}a odpowiednio na odcinkach AC i BD tak, by 2∠MON = ∠BP C. Udowodnić, że ci_{}eciwa okr_{}egu ω przechodz _{}aca przez punkty M i N ma długość AC.

45. Rozstrzygn _{}ać, czy szachownic_{}e 19×19 z wyci_{}etym rogiem da si_{}e pokryć nast_{}epuj _{}acymi klockami (klocki można obracać, ale nie można odbijać symetrycznie):

(Tu nast_{}epuj _{}a rysunki klocków: prostok _{}at 4 × 1 z dołożonym kwadracikiem po prawej o jeden od góry, kwadrat 2 × 2 z dołożonym kwadracikiem po lewej u dołu oraz prostok _{}at 5 × 1)

47. Wewn _{}atrz lub na brzegu koła o promieniu 1 obrano n punktów. Pokazać, że istnieje punkt tego koła, którego suma odległości od tych punktów jest niemniejsza niż n.

48. Dany jest trójk _{}at równoboczny ABC wpisany w okr _{}ag o. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których funkcja f(P) = AP^{n} +BP^{n} +CP^{n} przyjmuje tak _{}a sam _{}a wartość dla wszystkich punktów leż _{}acych na okr_{}egu.

49. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej k 2 można znaleźć tak _{}a liczb_{}e naturaln _{}a n, że

\frac{n}{π(n)} = k

410. Udowodnić nierówność

\frac{a}{b^{2}(c + 1)} + \frac{b}{c^{2}(a + 1)} + \frac{c}{a^{2}(b + 1)} \frac{3}{2}

gdzie a, b, c s _{}a liczbami rzeczywistymi dodatnimi spełniaj _{}acymi warunek abc = 1.