Zawody indywidualne, dzień 0

grupa pierwszoklasistów niedziela, 23 września 2007

1. Dwustu uczniów brało udział w olimpiadzie matematycznej. Mieli do zrobienia 6 zadań. Wiadomo, że każde zadania zrobiło co najmniej 120 uczniów. Pokazać, że istnieje dwóch uczniów takich, że każde zadanie zostało zrobione przez co najmniej jednego z nich.

2. Ile najwyżej nienachodz _{}aych na siebie kwadratów 2×2 da si_{}e ułożyć na szachownicy n × n tak, aby boki kwadratów biegły wzdłuż linii podziału pól?

3. Liczby dodatnie a_{1}, a_{2}, …, a_{n} sumuj _{}a si_{}e do 1. Pokazać, że zachodzi nierówność:

a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + … + a_{n−1} a_{n} \frac{1}{4}

4. Dany jest kwadrat ABCD. Punkty E i F należ _{}a odpowiednio do boków AB i BC tego kwadratu i BE = BF. Punkt S jest rzutem prostok _{}atnym punktu B na prost _{}a EC. Wykazać, że k _{}at DSF jest prosty.

Zawody indywidualne, dzień 0

grupa młodsza niedziela, 23 września 2007

1. Dwustu uczniów brało udział w olimpiadzie matematycznej. Mieli do zrobienia 6 zadań. Wiadomo, że każde zadania zrobiło co najmniej 120 uczniów. Pokazać, że istnieje dwóch uczniów takich, że każde zadanie zostało zrobione przez co najmniej jednego z nich.

3. Liczby dodatnie a_{1}, a_{2}, …, a_{n} sumuj _{}a si_{}e do 1. Pokazać, że zachodzi nierówność:

a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + … + a_{n−1} a_{n} \frac{1}{4}

4. Dany jest kwadrat ABCD. Punkty E i F należ _{}a odpowiednio do boków AB i BC tego kwadratu i BE = BF. Punkt S jest rzutem prostok _{}atnym punktu B na prost _{}a EC. Wykazać, że k _{}at DSF jest prosty.

6. Znaleźć liczb_{}e podzbiorów M zbioru {1, 2, …, 36} o nast_{}epuj _{}acej własności:

Dla każdych dwóch różnych elementów x, y ∈ M również |x − y| ∈ M.

Zawody indywidualne, dzień 0

grupa starsza niedziela, 23 września 2007

1. Dwustu uczniów brało udział w olimpiadzie matematycznej. Mieli do zrobienia 6 zadań. Wiadomo, że każde zadania zrobiło co najmniej 120 uczniów. Pokazać, że istnieje dwóch uczniów takich, że każde zadanie zostało zrobione przez co najmniej jednego z nich.

3. Liczby dodatnie a_{1}, a_{2}, …, a_{n} sumuj _{}a si_{}e do 1. Pokazać, że zachodzi nierówność:

a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + … + a_{n−1} a_{n} \frac{1}{4}

5. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC dwusieczna wewn_{}etrzna k _{}ata ∠ABC przecina bok AC w punkcie D. Punkty E i F s _{}a odpowiednio rzutami punktów A i C na prost _{}a BD. Punkt M jest rzutem punktu D na prost _{}a BC. Pokazać, że ∠EMD = ∠F MD.

6. Znaleźć liczb_{}e podzbiorów M zbioru {1, 2, …, 36} o nast_{}epuj _{}acej własności:

Dla każdych dwóch różnych elementów x, y ∈ M również |x − y| ∈ M.

Zawody indywidualne, dzień 0

grupa najstarsza niedziela, 23 września 2007

5. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC dwusieczna wewn_{}etrzna k _{}ata ∠ABC przecina bok AC w punkcie D. Punkty E i F s _{}a odpowiednio rzutami punktów A i C na prost _{}a BD. Punkt M jest rzutem punktu D na prost _{}a BC. Pokazać, że ∠EMD = ∠F MD.

6. Znaleźć liczb_{}e podzbiorów M zbioru {1, 2, …, 36} o nast_{}epuj _{}acej własności:

Dla każdych dwóch różnych elementów x, y ∈ M również |x − y| ∈ M.

7. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c, d, e zachodzi nierówność:

\frac{a}{e + a + b} + \frac{b}{a + b + c} + \frac{c}{b + c + d} + \frac{d}{c + d + e} + \frac{e}{d + e + a} 2

8. Pokazać, że istniej _{}a dwa kolejne kwadraty liczb naturalnych, pomi_{}edzy którymi jest co najmniej 2007 liczb pierwszych.