Trzecie zawody indywidualne

grupa pierwszoklasistów wtorek, 28 września 2004

31. We wn_{}etrzu trójk _{}ata równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnić, że istniej _{}a wśród nich trzy, tworz _{}ace trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie niewi_{}ekszym niż 3.

32. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie x i y takie, że liczby x^{2} + y i y^{2} + x s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

33. W kwadracie ABCD na boku BC obrano dowolny punkt K. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie AKC ma środek w O. Wykazać, że ∡OAK = 45^{∘}.

34. Na bokach AB, BC, CD i DA kwadratu ABCD o boku 1 obrano odpowiednio punkty K, L, M, N. Wykazać, że obwód czworok _{}ata KLMN jest niewi_{}ekszy niż 2\sqrt{2}.

35. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla wszystkich x, y ∈ ℝ równość

f(x + y) = f(x^{2}) + f(y^{2}).

314. Joasia napisała ci _{}ag n^{2}+1 różnych liczb całkowitych. Wykazać, że istnieje w tym ci _{}agu podci _{}ag monotoniczny (tj. rosn _{}acy b _{}adź malej _{}acy) długości n + 1.

Trzecie zawody indywidualne

grupa młodsza wtorek, 28 września 2004

31. We wn_{}etrzu trójk _{}ata równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnić, że istniej _{}a wśród nich trzy, tworz _{}ace trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie niewi_{}ekszym niż 3.

32. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie x i y takie, że liczby x^{2} + y i y^{2} + x s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

33. W kwadracie ABCD na boku BC obrano dowolny punkt K. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie AKC ma środek w O. Wykazać, że ∡OAK = 45^{∘}.

34. Na bokach AB, BC, CD i DA kwadratu ABCD o boku 1 obrano odpowiednio punkty K, L, M, N. Wykazać, że obwód czworok _{}ata KLMN jest niewi_{}ekszy niż 2\sqrt{2}.

35. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla wszystkich x, y ∈ ℝ równość

f(x + y) = f(x^{2}) + f(y^{2}).

36. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a i b zachodzi nierówność

a^{5} + a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3} + b^{5} 2(a^{4}b + ab^{4}).

Trzecie zawody indywidualne

grupa starsza wtorek, 28 września 2004

31. We wn_{}etrzu trójk _{}ata równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnić, że istniej _{}a wśród nich trzy, tworz _{}ace trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie niewi_{}ekszym niż 3.

34. Na bokach AB, BC, CD i DA kwadratu ABCD o boku 1 obrano odpowiednio punkty K, L, M, N. Wykazać, że obwód czworok _{}ata KLMN jest niewi_{}ekszy niż 2\sqrt{2}.

37. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} wpisane s _{}a w k _{}at o wierzchołku w P. Okr _{}ag ω jest styczny zewn_{}etrznie do okr_{}egów ω_{1} i ω_{2} odpowiednio w punktach A i B. Wykazać, że punkty P, A i B s _{}a współliniowe.

38. Niech F_{n} b_{}edzie ci _{}agiem zdefiniowanym nast_{}epuj _{}aco: F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{n+1} = F_{n} + F_{n−1} dla n = 1, 2, . . .. Niech a, b ∈ ℤ^{+} . Wykazać, że^{1}

NW D(F_{a}, F_{b}) = F_{NW D(a,b)}.

39. Dana jest liczba całkowita n > 2. Wyznaczyć najmniejsz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a H i najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a h takie, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodzi nierówność

h \frac{x_{1}}{x_{1} + x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{2} + x_{3}} + … + \frac{x_{n−1}}{x_{n−1} + x_{n}} + \frac{x_{n}}{x_{n} + x_{1}} H.

314. Joasia napisała ci _{}ag n^{2}+1 różnych liczb całkowitych. Wykazać, że istnieje w tym ci _{}agu podci _{}ag monotoniczny (tj. rosn _{}acy b _{}adź malej _{}acy) długości n + 1.

1Wzór, który jest tez _{}a tego zadania, można znaleźć w niektórych tablicach. Powołanie si_{}e na tablice nie jest rozwi _{}azaniem zadania.

Trzecie zawody indywidualne

grupa najstarsza wtorek, 28 września 2004

31. We wn_{}etrzu trójk _{}ata równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnić, że istniej _{}a wśród nich trzy, tworz _{}ace trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie niewi_{}ekszym niż 3.

39. Dana jest liczba całkowita n > 2. Wyznaczyć najmniejsz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a H i najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a h takie, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodzi nierówność

h \frac{x_{1}}{x_{1} + x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{2} + x_{3}} + … + \frac{x_{n−1}}{x_{n−1} + x_{n}} + \frac{x_{n}}{x_{n} + x_{1}} H.

310. Ci _{}ag a_{1}, a_{2}, a_{3}, … spełnia warunek a_{n+m} a_{n} + a_{m} dla każdych liczb całkowitych dodatnich n i m. Wykazać, że dla każdym n, m ∈ ℤ^{+} zachodzi nierówność

a_{n} ma_{1} + ( \frac{n}{m} − 1) a_{m}.

311. k-t _{}a liczb _{}a Fermata nazywamy F_{k} = 2^{2^{k}} + 1. Niech n > 0 b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a. Wykazać, że jeśli

F_{n} | 3^{\frac{Fn −1}{2}} + 1,

to liczba F_{n} jest pierwsza.

312. Niech H b_{}edzie ortocentrum trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC. Okr_{}egi opisane na trójk _{}atach BCH, ACH i ABH maj _{}a środki odpowiednio w punktach O_{1}, O_{2} i O_{3}. Wykazać, że proste AO_{1}, BO_{2} i CO_{3} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

313. Punkt X leży wewn _{}atrz lub na brzegu trójk _{}ata ABC, w którym k _{}at C jest prosty. Punkty P, Q i R s _{}a odpowiednio rzutami punktu X na boki BC, CA i AB. Udowodnić, że równość

AR · RB = BP · P C + AQ · QC

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na boku AB.