Klasóweczka

grupa pierwszoklasistów sobota, 2 października 2004

71. Wykazać, że jeśli liczby a, b, c s _{}a długościami boków pewnego trójk _{}ata, to zachodzi nierówność

(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) 27(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a).

72. Maj _{}ac dane rysunki rzutów ostrosłupa czworok _{}atnego na płaszczyzn_{}e (patrz druga kartka) narysować, przy pomocy samej linijki, przekroje ostrosłupa płaszczyzn _{}a ABC. Opisać, co, w jakiej kolejności i dlaczego było robione.

73. Znaleźć wszystkie wielomiany P (x) spełniaj _{}ace dla każdego x ∈ ℝ równość

(x − 1)P (x + 1) − (x + 2)P (x) = 0.

74. Danych jest n > 1 osób, z których niektóre znaj _{}a si_{}e mi_{}edzy sob _{}a. Jeśli pewna osoba organizuje imprez_{}e, zaprasza wszystkich swoich znajomych i wszyscy uczestnicy imprezy poznaj _{}a si_{}e. Po pewnym czasie każda osoba zorganizowała imprez_{}e, po czym okazało si_{}e, że s _{}a jeszcze dwie osoby, które si_{}e nie znaj _{}a. Wykazać, że na najbliższej imprezie te dwie osoby również si_{}e nie poznaj _{}a.

75. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność

a^{4} + b^{4} + c^{4} a^{2}bc + ab^{2}c + abc^{2}.

76. Superliczb _{}a Grabowskiego G_{n} nazywamy liczb_{}e złożon _{}a w zapisie dziesi_{}etnym z n jedynek, po których nast_{}epuje n dwójek, np. liczby 12, 1122, 111222 s _{}a superliczbami Grabowskiego, zaś liczby 1212, 11122 nie s _{}a. Wykazać, że jeśli liczba p jest pierwsza, to

p | G_{p} − 12.

Klasóweczka

grupa młodsza sobota, 2 października 2004

71. Wykazać, że jeśli liczby a, b, c s _{}a długościami boków pewnego trójk _{}ata, to zachodzi nierówność

(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) 27(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a).

72. Maj _{}ac dane rysunki rzutów ostrosłupa czworok _{}atnego na płaszczyzn_{}e (patrz druga kartka) narysować, przy pomocy samej linijki, przekroje ostrosłupa płaszczyzn _{}a ABC. Opisać, co, w jakiej kolejności i dlaczego było robione.

74. Danych jest n > 1 osób, z których niektóre znaj _{}a si_{}e mi_{}edzy sob _{}a. Jeśli pewna osoba organizuje imprez_{}e, zaprasza wszystkich swoich znajomych i wszyscy uczestnicy imprezy poznaj _{}a si_{}e. Po pewnym czasie każda osoba zorganizowała imprez_{}e, po czym okazało si_{}e, że s _{}a jeszcze dwie osoby, które si_{}e nie znaj _{}a. Wykazać, że na najbliższej imprezie te dwie osoby również si_{}e nie poznaj _{}a.

75. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność

a^{4} + b^{4} + c^{4} a^{2}bc + ab^{2}c + abc^{2}.

76. Superliczb _{}a Grabowskiego G_{n} nazywamy liczb_{}e złożon _{}a w zapisie dziesi_{}etnym z n jedynek, po których nast_{}epuje n dwójek, np. liczby 12, 1122, 111222 s _{}a superliczbami Grabowskiego, zaś liczby 1212, 11122 nie s _{}a. Wykazać, że jeśli liczba p jest pierwsza, to

p | G_{p} − 12.

77. Wielomian W (x) stopnia niewi_{}ekszego niż n spełnia dla k = 0, 1, 2, …, n równość

P (k) = \frac{k}{k + 1} .

Obliczyć wartość P (n + 1).

Klasóweczka

grupa starsza sobota, 2 października 2004

71. Wykazać, że jeśli liczby a, b, c s _{}a długościami boków pewnego trójk _{}ata, to zachodzi nierówność

(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) 27(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a).

72. Maj _{}ac dane rysunki rzutów ostrosłupa czworok _{}atnego na płaszczyzn_{}e (patrz druga kartka) narysować, przy pomocy samej linijki, przekroje ostrosłupa płaszczyzn _{}a ABC. Opisać, co, w jakiej kolejności i dlaczego było robione.

74. Danych jest n > 1 osób, z których niektóre znaj _{}a si_{}e mi_{}edzy sob _{}a. Jeśli pewna osoba organizuje imprez_{}e, zaprasza wszystkich swoich znajomych i wszyscy uczestnicy imprezy poznaj _{}a si_{}e. Po pewnym czasie każda osoba zorganizowała imprez_{}e, po czym okazało si_{}e, że s _{}a jeszcze dwie osoby, które si_{}e nie znaj _{}a. Wykazać, że na najbliższej imprezie te dwie osoby również si_{}e nie poznaj _{}a.

78. Dany jest czworościan ABCD oraz punkty K, L, M i N takie, że

\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CL} = \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{CD}.

Wykazać, że obj_{}etość czworościanu KLMN jest dwa razy wi_{}eksza niż czworościanu ABCD.

79. Niech n > 1 b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a, zaś liczby a_{1}, a_{2}, …, a_{n} oraz x_{1}, x_{2}, …, x_{n} takimi liczbami dodatnimi, że a_{1} + a_{2} + …+ a_{n} = 1 oraz x_{1} + x_{2} + …+ x_{n} = 1. Wykazać, że zachodzi nierówność

2 ∑_{i<j} x_{i}x_{j} \frac{n − 2}{n − 1} + ∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}x_{i}^{2}}{1 − a_{i}} .

Klasóweczka

grupa najstarsza sobota, 2 października 2004

71. Wykazać, że jeśli liczby a, b, c s _{}a długościami boków pewnego trójk _{}ata, to zachodzi nierówność

(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) 27(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a).

79. Niech n > 1 b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a, zaś liczby a_{1}, a_{2}, …, a_{n} oraz x_{1}, x_{2}, …, x_{n} takimi liczbami dodatnimi, że a_{1} + a_{2} + …+ a_{n} = 1 oraz x_{1} + x_{2} + …+ x_{n} = 1. Wykazać, że zachodzi nierówność

2 ∑_{i<j} x_{i}x_{j} \frac{n − 2}{n − 1} + ∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}x_{i}^{2}}{1 − a_{i}} .

710. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n takiej, że 3 | n, zachodzi równość

∑_{k=0}^{n} ∑_{i=0}^{n−k} \binom{n}{k} \binom{n}{i} \binom{n − k}{n − 2k − i} (−1)^{i} = \binom{n}{\frac{n}{3}} .

711. Wykazać, że cztery punkty przeci_{}ecia dwóch parabol o prostopadłych kierownicach leż _{}a na jednym okr_{}egu.

712. Dany jest zbiór liczb od 1 do n + 1. Mówimy, że dwie uporz _{}adkowane n-tki s _{}a ze sob _{}a zaprzyjaźnione, gdy istniej _{}a takie różne indeksy i oraz j, że na i-tym indeksie w pierwszej n-tce jest ta sama liczba, która jest na j-tym indeksie w drugiej n-tce. Wyznaczyć maksymaln _{}a moc zbioru n-tek, takiego, że każde dwie s _{}a ze sob _{}a zaprzyjaźnione.

713. Okregi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach X i Y. Prosta k przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach A i X, zaś okr _{}ag ω_{2} w punktach X i B. Punkt P_{1} należy do odcinka AX, zaś punkt P_{2} do odcinka XB. Prosta Y P_{1} przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach Y i Q_{1}, zaś prosta Y P_{2} okr _{}ag ω_{2} w punktach Y i Q_{2}. Okr_{}egi opisane na trójk _{}atach AP_{2}Y i BP_{1}Y przecinaj _{}a si_{}e w punktach Y i Z. Wykazać, że punkty Q_{1}, Q_{2}, Z i Y leż _{}a na jednym okr_{}egu.