Zadania powtórzeniowe

grupa pierwszoklasistów czwartek, 30 września 2004

51. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC proste zawieraj _{}ace wysokości AD, BE i CF przecinaj _{}a okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC odpowiednio w punktach K, L, M różnych od wierzchołków trójk _{}ata. Obliczyć możliwe wartości stosunku pola sześciok _{}ata ALCKBM do pola trójk _{}ata ABC.

52. Na płaszczyźnie dane s _{}a różne punkty A, O i I. Skonstruować trójk _{}at, którego wierzchołkiem b_{}edzie punkt A, środkiem okr_{}egu opisanego b_{}edzie O, zaś środkiem okr_{}egu wpisanego b_{}edzie I.

53. Dany jest kwadrat ABCD o boku 2. Niech M b_{}edzie środkiem boku BC, zaś X i Y takimi punktami na bokach AB i AD odpowiednio, że AX = AY oraz XM + MY = \sqrt{10}. Udowodnić, że ∡BXM = ∡AY M.

54. Znaleźć wszystkie funkcje różnowartościowe f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych liczb x, y ∈ ℝ równanie: f(f(x) + y) = f(x + y) + 1.

55. Punktem kratowym na płaszczyźnie nazywamy punkt o obydwu współrz_{}ednych całkowitych. Niech A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} i A_{5} b_{}ed _{}a parami różnymi punktami kratowymi. Udowodnić, że istniej _{}a takie i, j, że odcinek A_{i}A_{j} zawiera przynajmniej jeden punkt kratowy z wyj _{}atkiem A_{i} i A_{j}.

56. Wykazać, że jeśli liczby a, k, l, m, p i q s _{}a naturalne, to

(a) jeśli spełniaj _{}a równanie 4^{p} + a^{2} = 7^{q}, to 2 | q.

(b) jeśli spełniaj _{}a równanie k^{2} + l^{2} = 7m, to 7 | k i 7 | l.

57. Wykazać, że istnieje taka liczba naturalna n, że

541 | 2003n − 2005.

58. Z szachownicy 8 × 8 wyci_{}eto jedno narożne pole. Rozstrzygn _{}ać, czy można pokryć zubożał _{}a szachownic_{}e klockami 3 × 1.

59. Dana jest szachownica 2004 × 2004. Na każdym polu leży kamień. Wykonujemy nast_{}epuj _{}ace ruchy: jeżeli na pierwszym i trzecim z trzech kolejnych pól leż _{}acych w jednym wierszu lub kolumnie leży kamień, to możemy oba te kamienie przełożyć na drugie z tych pól (niezależnie od tego, czy jakiś kamień leży na środkowym polu, i czy ruch opróżni jakiekolwiek pole). Rozstrzygn _{}ać, czy można wykonuj _{}ac takie ruchy przełożyć wszystkie kamienie na jedno pole.

Zadania powtórzeniowe

grupa młodsza czwartek, 30 września 2004

51. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC proste zawieraj _{}ace wysokości AD, BE i CF przecinaj _{}a okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC odpowiednio w punktach K, L, M różnych od wierzchołków trójk _{}ata. Obliczyć możliwe wartości stosunku pola sześciok _{}ata ALCKBM do pola trójk _{}ata ABC.

53. Dany jest kwadrat ABCD o boku 2. Niech M b_{}edzie środkiem boku BC, zaś X i Y takimi punktami na bokach AB i AD odpowiednio, że AX = AY oraz XM + MY = \sqrt{10}. Udowodnić, że ∡BXM = ∡AY M.

54. Znaleźć wszystkie funkcje różnowartościowe f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych liczb x, y ∈ ℝ równanie: f(f(x) + y) = f(x + y) + 1.

55. Punktem kratowym na płaszczyźnie nazywamy punkt o obydwu współrz_{}ednych całkowitych. Niech A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} i A_{5} b_{}ed _{}a parami różnymi punktami kratowymi. Udowodnić, że istniej _{}a takie i, j, że odcinek A_{i}A_{j} zawiera przynajmniej jeden punkt kratowy z wyj _{}atkiem A_{i} i A_{j}.

56. Wykazać, że jeśli liczby a, k, l, m, p i q s _{}a naturalne, to

(a) jeśli spełniaj _{}a równanie 4^{p} + a^{2} = 7^{q}, to 2 | q.

(b) jeśli spełniaj _{}a równanie k^{2} + l^{2} = 7m, to 7 | k i 7 | l.

57. Wykazać, że istnieje taka liczba naturalna n, że

541 | 2003n − 2005.

58. Z szachownicy 8 × 8 wyci_{}eto jedno narożne pole. Rozstrzygn _{}ać, czy można pokryć zubożał _{}a szachownic_{}e klockami 3 × 1.

513. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba

⌊ \frac{10^{p}}{p}⌋

jest podzielna przez 10.

Zadania powtórzeniowe

grupa starsza czwartek, 30 września 2004

510. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich x, y spełniaj _{}ace równanie y^{x} = x^{50}.

511. Dany jest czworościan ABCD. Obrano takie punkty E, F i G na odpowiednio płaszczyznach ABD, BCD i CAD, by czworok _{}aty ADBE, DBCF i CDAG były równoległobokami. Pokazać, że trójk _{}aty GF E i ABC s _{}a przystaj _{}ace.

512. W pewnym czworościanie dwie pary naprzeciwległych kraw_{}edzi s _{}a prostopadłe. Wykazać, że środki kraw_{}edzi tego czworościanu leż _{}a na jednej sferze.

513. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba

⌊ \frac{10^{p}}{p}⌋

jest podzielna przez 10.

514. Wykaż, że dla dowolnych a_{1}, a_{2}, …, a_{n} > 0, których suma jest równa 1, oraz liczby dodatniej p zachodzi nierówność

∑_{i=1}^{n} ( a_{i} + \frac{1}{a_{i}} ) ^{p} \frac{(n^{2} + 1)^{p}}{n^{p−1}} .

520. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC znajduje si_{}e punkt P.

(a) Wykazać, że odbicia symetryczne prostych AP, BP i CP wzgledem odpowiednio dwusiecznych wewn_{}etrznych k _{}atów A, B i C trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie Q.

(b) Wykazać, że rzuty prostok _{}atne punktów P i Q na boki trójk _{}ata ABC leż _{}a wszystkie na jednym okr_{}egu.

Zadania powtórzeniowe

grupa najstarsza czwartek, 30 września 2004

513. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba

⌊ \frac{10^{p}}{p}⌋

jest podzielna przez 10.

515. Proste l, m, n, styczne do paraboli p, przecinaj _{}a si_{}e w punktach A, B, C. Wykazać, że okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC przechodzi przez ognisko paraboli p.

516. W czworościanie prowadzimy przez środek każdej kraw_{}edzi płaszczyzn_{}e prostopadł _{}a do naprzeciwległej kraw_{}edzi. Wykazać, że wszystkie otrzymane w ten sposób płaszczyzny maj _{}a punkt wspólny.

517. W pewnym ci _{}agu arytmetycznym liczb całkowitych istnieje wyraz, b_{}ed _{}acy kwadratem liczby całkowitej, oraz wyraz, b_{}ed _{}acy sześcianem liczby całkowitej. Wykazać, że w tym ci _{}agu istnieje wyraz, b_{}ed _{}acy szóst _{}a pot_{}eg _{}a liczby całkowitej.

518. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b zachodzi nierówność

a^{3}b + ab^{3} + 2a^{3} + 2b^{3} + 2 2a^{2}b + 2ab^{2} + a^{2} + b^{2} + 2ab

519. Udowodnić, że z dowolnych siedmiu różnych liczb rzeczywistych można wybrać dwie liczby x i y takie, że

0 < \frac{x − y}{1 + xy} < \frac{\sqrt{3}}{3}.