Pierwsze zawody indywidualne

grupa pierwszoklasistów niedziela, 26 września 2004

11. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e. Na szachownicy 541×541 w lewym dolnym rogu stoi wieża. Gracze ruszaj _{}a si_{}e na przemian, ruch polega na przesuni_{}eciu wieży o dowoln _{}a ilość pól w gór_{}e lub w prawo. Rozpoczyna Joasia. Czy Onufry może wygrać, niezależnie od gry Joasi?

12. Odcinki AK i BL s _{}a wysokościami w trójkacie ostrok _{}atnym ABC. Prosta KL przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punktach G i H, przy czym punkt G leży na krótszym łuku BC, zaś punkt H na krótszym łuku AC. Pokazać, że dwusieczna k _{}ata BCG odcina z k _{}ata BGK trójk _{}at równoramienny.

13. Rozwi _{}azać w liczbach całkowitych x, y, z równanie

x^{3} + 3y^{3} + 9z^{3} − 9xyz = 0.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa młodsza niedziela, 26 września 2004

11. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e. Na szachownicy 541×541 w lewym dolnym rogu stoi wieża. Gracze ruszaj _{}a si_{}e na przemian, ruch polega na przesuni_{}eciu wieży o dowoln _{}a ilość pól w gór_{}e lub w prawo. Rozpoczyna Joasia. Czy Onufry może wygrać, niezależnie od gry Joasi?

12. Odcinki AK i BL s _{}a wysokościami w trójkacie ostrok _{}atnym ABC. Prosta KL przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punktach G i H, przy czym punkt G leży na krótszym łuku BC, zaś punkt H na krótszym łuku AC. Pokazać, że dwusieczna k _{}ata BCG odcina z k _{}ata BGK trójk _{}at równoramienny.

13. Rozwi _{}azać w liczbach całkowitych x, y, z równanie

x^{3} + 3y^{3} + 9z^{3} − 9xyz = 0.

14. Dana jest liczba całkowita dodatnia k. Ci _{}ag (a_{n}) definiujemy nast_{}epuj _{}aco: a_{0} = 1 i dla n > 0: a_{n} = kn + a_{n−1} (−1)^{n}. Wyznaczyć wszystkie liczby k, dla których 2000 jest wyrazem ci _{}agu a_{n}.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa starsza niedziela, 26 września 2004

13. Rozwi _{}azać w liczbach całkowitych x, y, z równanie

x^{3} + 3y^{3} + 9z^{3} − 9xyz = 0.

15. Niech a i b b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi, przy czym a jest nieparzyste. Zdefiniujmy ci _{}ag u_{n} nast_{}epuj _{}aco: u_{0} = b,

u_{n} = \{ \begin{matrix}\frac{u_{n−1}}{2} , 2 | u_{n−1} \\ u_{n−1} + a, 2 ∤ u_{n−1} \end{matrix} .

Wykazać, że ci _{}ag u_{n} jest okresowy od pewnego miejsca.

16. Niech ABCDEF b_{}edzie sześciok _{}atem opisanym na okr_{}egu O, przy czym punkty styczności P, Q, R odpowiednio z bokami AB, CD, EF s _{}a jednocześnie ich środkami. Punkty styczności okr_{}egu O z prostymi BC, DE, F A to odpowiednio punkty X, Y, Z. Udowodnij, że proste P Y, QZ i RX przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

17. Wyznaczyć liczb_{}e podzbiorów zbioru {1, 2, …, 2n}, w których równanie x + y = 2n + 1 nie ma rozwi _{}azań.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa najstarsza niedziela, 26 września 2004

15. Niech a i b b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi, przy czym a jest nieparzyste. Zdefiniujmy ci _{}ag u_{n} nast_{}epuj _{}aco: u_{0} = b,

u_{n} = \{ \begin{matrix}\frac{u_{n−1}}{2} , 2 | u_{n−1} \\ u_{n−1} + a, 2 ∤ u_{n−1} \end{matrix} .

Wykazać, że ci _{}ag u_{n} jest okresowy od pewnego miejsca.

16. Niech ABCDEF b_{}edzie sześciok _{}atem opisanym na okr_{}egu O, przy czym punkty styczności P, Q, R odpowiednio z bokami AB, CD, EF s _{}a jednocześnie ich środkami. Punkty styczności okr_{}egu O z prostymi BC, DE, F A to odpowiednio punkty X, Y, Z. Udowodnij, że proste P Y, QZ i RX przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

17. Wyznaczyć liczb_{}e podzbiorów zbioru {1, 2, …, 2n}, w których równanie x + y = 2n + 1 nie ma rozwi _{}azań.

18. W nierównoramiennym trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC okr _{}ag wpisany jest styczny do boków BC, AC i AB odpowiednio w punktach K, L i M. Punkt N jest środkiem odcinka LM. Punkt D jest takim punktem na prostej KL, zaś E takim punktem na prostej KM, że proste LM, CE i BD s _{}a równoległe. Wykazać, że punkty D, E i N s _{}a współliniowe.