Zawody drużynowe

grupa młodsza środa, 29 września 2004

41. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e. Na szachownicy 541 × 541 w lewym dolnym rogu stoi król-inwalida. Król-inwalida potrafi si_{}e poruszać o jedno pole tylko w gór_{}e, w prawo i na skos w prawo w gór_{}e. Joasia rozpoczyna, gracze na przemian poruszaj _{}a królem. Kto pierwszy dojdzie do prawego górnego rogu, wygrywa. Czy Joasia może wygrać?

42. Wykazać, że jeśli liczba n > 1 jest złożona, to da si_{}e j _{}a przedstawić w postaci sumy czterech liczb całkowitych dodatnich a, b, c i d takich, że ab = cd.

43. Liczby całkowite x, y i z spełniaj _{}a warunek

(x − y)(y − z)(z − x) = x + y + z.

Wykazać, że 27 | x + y + z.

44. W czworok _{}acie ABCD wpisanym w okr _{}ag na bokach AB, BC, CD i, DA obrano punkty E, F, G, H odpowiednio. Wykazać, że jeśli zachodzi równość

AE · BE = BF · CF = CG · DG = DH · HA

to punkty E, F, G, H leż _{}a na jednym okr_{}egu.

45. Punkt E należy do boku AB, punkt F do boku BC trójk _{}ata ABC, odcinki AF i CE przecinaj _{}a si_{}e w punkcie D i AE = CF. W czworok _{}at DEBF można wpisać okr _{}ag. Wykazać, że AB = BC.

46. Joasia na tablicy napisała n jedynek. W jednym ruchu ściera dwie liczby, a zamiast nich pisze połow_{}e ich średniej arytmetycznej. Joasia kończy zabaw_{}e, jak zostanie na tablicy jedna liczba. Wykazać, że końcowa liczba nie może być mniejsza niż \frac{1}{n}.

47. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e. W pudełku jest 300 ketchupów z McDonalda. Ruch polega na wyj_{}eciu niewi_{}ecej niż połowy ketchupów z pudełka. Joasia zaczyna, gracze wykonuj _{}a ruchy na przemian, kto nie może wykonać ruchu przegrywa. Kto ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

48. W Ksi_{}estwie Hofmańskim jest n > 541 miast, niektóre z nich s _{}a poł _{}aczone drogami dwukierunkowymi, przy czym z każdego miasta wychodz _{}a przynajmniej trzy drogi. Wykazać, że w Ksi_{}estwie istnieje cykl dróg parzystej długości.

49. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla wszystkich x, y ∈ ℝ warunek

f(f(x)) + f(−y) = x + y.

410. Dany jest �krzywy graniastosłup” trójk _{}atny ABCA′B′C′(tj. podstawy ABC i A′B′C′ s _{}a niekoniecznie przystaj _{}ace i równoległe, a ściany ABB′A′, BCC′B′, CAA′C′ s _{}a dowolnymi czworok _{}atami). Punkty F, D i E s _{}a przeci_{}eciami przek _{}atnych odpowiednio ścian ABB′A′, BCC′B′ i CAA′C′. Wykazać że proste AD, BE i CF maj _{}a punkt wspólny.

Zawody drużynowe

grupa starsza środa, 29 września 2004

47. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e. W pudełku jest 300 ketchupów z McDonalda. Ruch polega na wyj_{}eciu niewi_{}ecej niż połowy ketchupów z pudełka. Joasia zaczyna, gracze wykonuj _{}a ruchy na przemian, kto nie może wykonać ruchu przegrywa. Kto ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

48. W Ksi_{}estwie Hofmańskim jest n > 541 miast, niektóre z nich s _{}a poł _{}aczone drogami dwukierunkowymi, przy czym z każdego miasta wychodz _{}a przynajmniej trzy drogi. Wykazać, że w Ksi_{}estwie istnieje cykl dróg parzystej długości.

49. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla wszystkich x, y ∈ ℝ warunek

f(f(x)) + f(−y) = x + y.

410. Dany jest �krzywy graniastosłup” trójk _{}atny ABCA′B′C′(tj. podstawy ABC i A′B′C′ s _{}a niekoniecznie przystaj _{}ace i równoległe, a ściany ABB′A′, BCC′B′, CAA′C′ s _{}a dowolnymi czworok _{}atami). Punkty F, D i E s _{}a przeci_{}eciami przek _{}atnych odpowiednio ścian ABB′A′, BCC′B′ i CAA′C′. Wykazać że proste AD, BE i CF maj _{}a punkt wspólny.

411. Dana jest liczba całkowita n > 1 i wielomian W (x) = x^{n}+a_{n−1} x^{n−1} +…+a_{1}x+1, gdzie współczynniki a_{1}, a_{2}, …, a_{n−1} s _{}a nieujemne. Wielomian W (x) ma n pierwiastków rzeczywistych. Wykazać, że W (2) 3^{n}.

412. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego, a punkty A′, B′ i C′ s _{}a środkami okr_{}egów dopisanych leż _{}acych odpowienio naprzeciw wierzchołków A, B i C. Dwusieczna k _{}ata BIC przecina bok BC w punkcie A′′, analogicznie znajdujemy punkty B′′ i C′′. Wykazać, że proste A′A′′, B′B′′, C′C′′maj _{}a punkt wspólny.

413. Czy można podzielić zbiór liczb całkowitych nieujemnych na dwa rozł _{}aczne podzbiory tak, by dla każdego całkowitego dodatniego n równanie n = x + y dla x ≠ y miało tyle samo rozwi _{}azań w obu podzbiorach?

414. Dane s _{}a takie a, b ∈ ℕ, że \frac{a+1}{b} + \frac{b+1}{a} ∈ ℕ. Wykazać, że najwi_{}ekszy wspólny dzielnik a i b jest niewi_{}ekszy niż \sqrt{a + b}.

415. Niech M i N b_{}ed _{}a takimi punktami wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC, że k _{}aty MAB i NAC oraz MBA i NBC s _{}a równe. Udowodnić, że:

\frac{AM · AN}{AB · AC} + \frac{BM · DN}{BA · BC} + \frac{CM · CN}{CA · CB} = 1

416. Niech r_{1}, r_{2}, …, r_{n} b_{}ed _{}a liczbami rzeczywistymi wi_{}ekszymi równymi 1. Udowodnić nierówność:

\frac{1}{r_{1} + 1} + \frac{1}{r_{2} + 1} + … + \frac{1}{r_{n} + 1} \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1}r_{2} …r_{n}} + 1}