Drugie zawody indywidualne

grupa pierwszoklasistów poniedziałek, 27 września 2004

21. Rozwi _{}azać w x, y, z ∈ ℕ równanie

2^{x} + 3^{y} = z^{2}.

22. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje ci _{}ag liczb naturalnych a_{n} taki, że dla każdej liczby naturalnej k ci _{}ag k + a_{n} zawiera skończenie wiele liczb pierwszych.

23. Zabawa polega na przenoszeniu kamyka. Startujemy z (1, 1). Dozwolone s _{}a ruchy: przeniesienie z (a, b) na (2a, b) lub (a, 2b) i przeniesienie z (a, b) na (a − b, b) jeśli a > b oraz na (a, b − a) jeśli b > a. Rozstrzygn _{}ać dla jakich x, y ∈ ℤ^{+} można przenieść kamyk na (x, y).

24. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA i AB w punktach D, E i F odpowiednio. W k _{}aty BAC, ABC i ACB wpisujemy okr_{}egi o promieniach krótszych od promienia okr_{}egu wpisanego, styczne do niego i do ramion odpowiedniego k _{}ata. Okr_{}egi te s _{}a styczne do okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC odpowiednio w punktach K, L i M. Obliczyć możliwe wartości stosunku pola sześciok _{}ata DLF KEM do pola trójk _{}ata KLM.

210. Port w Hofmanville jest strzeżony przez szesnastu agentów. Każdy agent obserwuje jednego lub wi_{}ecej innych agentów, przy czym żadni dwaj agenci nie obserwuj _{}a si_{}e nawzajem. Dodatkowo każdych dziesi_{}eciu agentów da si_{}e ponumerować tak, aby pierwszy obserwował drugiego, drugi, trzeciego, itd. aż ostatni obserwował pierwszego. Wykazać, że każdych jedenastu agentów można analogicznie ponumerować.

Drugie zawody indywidualne

grupa młodsza poniedziałek, 27 września 2004

21. Rozwi _{}azać w x, y, z ∈ ℕ równanie

2^{x} + 3^{y} = z^{2}.

22. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje ci _{}ag liczb naturalnych a_{n} taki, że dla każdej liczby naturalnej k ci _{}ag k + a_{n} zawiera skończenie wiele liczb pierwszych.

23. Zabawa polega na przenoszeniu kamyka. Startujemy z (1, 1). Dozwolone s _{}a ruchy: przeniesienie z (a, b) na (2a, b) lub (a, 2b) i przeniesienie z (a, b) na (a − b, b) jeśli a > b oraz na (a, b − a) jeśli b > a. Rozstrzygn _{}ać dla jakich x, y ∈ ℤ^{+} można przenieść kamyk na (x, y).

24. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA i AB w punktach D, E i F odpowiednio. W k _{}aty BAC, ABC i ACB wpisujemy okr_{}egi o promieniach krótszych od promienia okr_{}egu wpisanego, styczne do niego i do ramion odpowiedniego k _{}ata. Okr_{}egi te s _{}a styczne do okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC odpowiednio w punktach K, L i M. Obliczyć możliwe wartości stosunku pola sześciok _{}ata DLF KEM do pola trójk _{}ata KLM.

25. Na przyj_{}eciu u Joasi jest n kobiet i n m_{}eżczyzn. Każda kobieta lubi r sposród m_{}eżczyzn, zaś każdy m_{}eżczyzna lubi s spośród kobiet. Wykazać, że jeśli r + s > n, to istnieje m_{}eżczyzna i kobieta, którzy lubi _{}a si_{}e nawzajem. Wykazać, że jeśli r + s n, to możliwe jest, że każde uczucie jest nieodwzajemnione.

Drugie zawody indywidualne

grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004

21. Rozwi _{}azać w x, y, z ∈ ℕ równanie

2^{x} + 3^{y} = z^{2}.

25. Na przyj_{}eciu u Joasi jest n kobiet i n m_{}eżczyzn. Każda kobieta lubi r sposród m_{}eżczyzn, zaś każdy m_{}eżczyzna lubi s spośród kobiet. Wykazać, że jeśli r + s > n, to istnieje m_{}eżczyzna i kobieta, którzy lubi _{}a si_{}e nawzajem. Wykazać, że jeśli r + s n, to możliwe jest, że każde uczucie jest nieodwzajemnione.

26. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania nast_{}epuj _{}acego układu równań w x, y, z ∈ ℝ:

\{ \begin{matrix}\frac{4x^{2}}{1+4x^{2}} = y \\ \frac{4y^{2}}{1+4y^{2}} = z \\ \frac{4z^{2}}{1+4z^{2}} = x \end{matrix}

27. Znaleźć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich takich, że kwadrat każdej z nich pomniejszony o jeden jest podzielny przez każd _{}a z pozostałych.

28. Odcinki AD, BE i CF s _{}a wysokościami trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC, zaś H jest jego ortocentrum. Prosta przechodz _{}aca przez punkt E i środek odcinka CH przecina odcinek CD w punkcie T, zaś odcinki DF i BH przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Wykazać, że prosta ST jest prostopadła do boku AB.

Drugie zawody indywidualne

grupa najstarsza poniedziałek, 27 września 2004

21. Rozwi _{}azać w x, y, z ∈ ℕ równanie

2^{x} + 3^{y} = z^{2}.

27. Znaleźć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich takich, że kwadrat każdej z nich pomniejszony o jeden jest podzielny przez każd _{}a z pozostałych.

28. Odcinki AD, BE i CF s _{}a wysokościami trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC, zaś H jest jego ortocentrum. Prosta przechodz _{}aca przez punkt E i środek odcinka CH przecina odcinek CD w punkcie T, zaś odcinki DF i BH przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Wykazać, że prosta ST jest prostopadła do boku AB.

29. Dane s _{}a dwie liczby całkowite dodatnie A i B. Na tablicy napisano n > 1 liczb całkowitych, z których nie wszystkie s _{}a różne. W ruchu Joasia może zmazać dwie takie same liczby m i napisać zamiast nich m+A i m−B. Wykazać, że Joasia nie może mazać w nieskończoność.

210. Port w Hofmanville jest strzeżony przez szesnastu agentów. Każdy agent obserwuje jednego lub wi_{}ecej innych agentów, przy czym żadni dwaj agenci nie obserwuj _{}a si_{}e nawzajem. Dodatkowo każdych dziesi_{}eciu agentów da si_{}e ponumerować tak, aby pierwszy obserwował drugiego, drugi, trzeciego, itd. aż ostatni obserwował pierwszego. Wykazać, że każdych jedenastu agentów można analogicznie ponumerować.