Niezmienniki i kolorowania

1. Dana jest tablica 3×5 wypełniona liczbami −1. Ruch polega na zmianie znaku dokładnie dwóch liczb. Rozstrzygnij, czy można wszystkie liczby zamienić na jedynki.

2. Dany jest kwadrat 4 × 4 wypełniony jedynkami oprócz trzech miejsc na przek _{}atnej, gdzie wpisane s _{}a −1. Ruch polega na zmianie znaku wszystkich liczb w wierszu, kolumnie, lub na dużej przek _{}atnej. Rozstrzygnij, czy da si_{}e zamienić wszystkie liczby na jedynki.

3. Wróble Onufry, Joasia i Marcin siedz _{}a w takiej właśnie kolejności na drucie tramwajowym. Co minut_{}e przejeżdża tramwaj, wi_{}ec jeden z wróbli przeskakuje przez któregoś ze swoich s _{}asiadów. Rozstrzygnij, czy po parzystej liczbie minut wróble mog _{}a siedzieć w kolejności Marcin, Joasia, Onufry.

4. Na wyspie żyje 17 czerwonych kameleonów, 15 niebieskich kameleonów i 13 zielonych kameleonów. Gdy spotkaj _{}a si_{}e dwa kameleony różnych kolorów, to zmieniaj _{}a kolor na ten trzeci. Rozstrzygnij, czy może si_{}e zdarzyć, że kiedyś wszystkie kameleony na wyspie b_{}ed _{}a jednego koloru.

5. Rozstrzygnij, czy kwadrat 6 × 6 z dodanymi dwoma małymi kwadracikami: jednym na górnym boku najbardziej lewego górnego kwadracika, a drugim przesuni_{}etym od niego o 4 w prawo można pokryć klockami domina.

6. Rozstrzygnij, czy da si_{}e pokryć klockami 4 × 1 kwadrat 6 × 6.

7. Rozstrzygnij, czy da si_{}e pokryć klockami typu ’L’ kwadrat 10 × 10.

8. Rozstzygnij, czy kwadrat 13 × 13 z wyci_{}etym na samym środku jednym kwadracikiem da si_{}e pokryć klockami 4 × 1.

9. Kwadrat 4 × 4 został cały zapełniony jedynkami oprócz

∘ miejsca bezpośrednio poniżej lewego górnego rogu

∘ jednego z czterech miejsc na środku

gdzie wpisana została −1. Dozwolonym ruchem jest zmienianie znaków wszystkich liczb w wierszu, kolumnie, lub dowolnej przek _{}atnej. Rozstrzygnij, czy da si_{}e doprowadzić do samych jedynek.

10. Rozstrzygnij dla jakich n sześcian o boku n da si_{}e wypełnić klockami - rysunek na tablicy.

11. W każdym wierzchołku 2002-k _{}ata foremnego rośnie drzewo i na każdym drzewie siedzi małpa. Co minut_{}e dwie dowolne małpy skacz _{}a na s _{}asiednie drzewo. Rozstrzygnij, czy może si_{}e zdarzyć, że wszystkie małpy znajd _{}a si_{}e w pewnym momencie na jednym drzewie.