Jensen

Twierdzenie Jensena. Jeżeli f jest funkcj _{}a wypukł _{}a w pewnym przedziale, to dla dowolnych liczb x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, (n 2) z tego przedziału oraz liczb nieujemnych α_{1}, α_{2}, …, α_{n} takich, że α_{1} + α_{2} + … + α_{n} = 1 zachodzi nierówność

f( ∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i}) ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(x_{i}).

1. Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność

\sqrt[3]{3 + \sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3 − \sqrt[3]{3}} < 2\sqrt[3]{3}.

2. Udowodnij, że dla dowolnych a, b ∈ [−1, 1] zachodzi nierówność

\sqrt{1 − a^{2}} + \sqrt{1 − b^{2}} \sqrt{4 − (a + b)^{2}} .

3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a_{1}, a_{2}, …, a_{n} zachodzi nierówność

∏_{i=1}^{n} a_{i}^{a_{i}} ( \frac{∑ _{i=1}^{n} a_{i}}{n} ) ^{∑ _{i=1}^{n} a_{i}} .

4. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, których suma kwadratów jest równa 1, zachodzi nierówność

∑_{i=1}^{n} ( \frac{1}{a_{i}} − a_{i}) (n − 1) \sqrt{n}.

5. (Nierówność Fan-Tsy) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a_{1}, a_{2} …, a_{n} z przedziału (0, \frac{1}{2}) zachodzi nierówność

\frac{∏ _{i=1}^{n} a_{i}}{( ∑ _{i=1}^{n} a_{i})^{n}} \frac{∏ _{i=1}^{n} (1 − a_{i})}{( ∑ _{i=1}^{n} (1 − a_{i}) )^{n}} .

6. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność

\frac{a}{\sqrt{a + b}} + \frac{b}{\sqrt{b + c}} + \frac{c}{\sqrt{c + a}} < \sqrt{2(a + b + c)} .

7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność

a(a + b − c)^{2} + b(b + c − a)^{2} + c(c + a − b)^{2} \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{a + b + c} .