Dowód nierówności Jensena

Nierówność Jensena. Jeżeli f jest funkcj _{}a wypukł _{}a w pewnym przedziale, to dla dowolnych liczb x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, (n 2) z tego przedziału oraz liczb nieujemnych α_{1}, α_{2}, …, α_{n} takich, że α_{1} + α_{2} + … + α_{n} = 1 zachodzi nierówność

f( ∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i}) ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(x_{i}).

Dowód Dowód wykonamy przez indukcj_{}e. Dla n = 2 zgadza si_{}e z definicji funkcji wypukłej. Załóżmy, że zachodzi teza dla n liczb x_{i} i α_{i}. Przeprowadzimy krok indukcyjny. Niech liczby x_{1}, x_{2}, …, x_{n+1} należ _{}a do przedziału, w którym funkcja jest wypukła, a liczby nieujemne α_{1}, α_{2}, …, α_{n+1} spełniaj _{}a warunek α_{1} + α_{2} + … + α_{n+1} = 1. Jeśli a_{n+1} = 1, to

α_{1} = α_{2} = … = α_{n+1} = 0

i nierówność zachodzi. Niech wi_{}ec 0 < α_{n+1} < 1. Mamy:

f( ∑_{i=1}^{n+1} α_{i}x_{i}) = f((1 − α_{n+1} ) ∑_{i=1}^{n} \frac{α_{i}}{1 − α_{n+1}} x_{i} + α_{n+1} x_{n+1} )

(1 − α_{n+1} )f( ∑_{i=1}^{n} \frac{α_{i}}{1 − α_{n+1}} ) + α_{n+1} f(x_{n+1} )

(1 − α_{n+1} ) ∑_{i=1}^{n} \frac{α_{i}}{1 − α_{n+1}} f(x_{i}) + α_{n+1} f(x_{n+1} ) = ∑_{i=1}^{n+1} α_{i}f(x_{i}).