.......................................................................  ...........  ................................
imie i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na V Warsztaty Matematyczne

Klasa druga i trzecia

Na pytania odpowiada się �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” bądź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji:

Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty. Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Liczba 2004^{2004} − 2451^{134} jest podzielna przez 5. jest podzielna przez 7. jest podzielna przez 9.

2*. Dany jest trójk _{}at nierównoramienny ABC. Na półprostych AB i AC zaznaczono punkty D i E odpowiednio, takie, że |AD| = |AE| oraz odcinki DE i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, który jest środkiem odcinka BC. Wówczas:

punkt P jest też środkiem odcinka DE.

k _{}at P DB może być prosty.

trójk _{}aty P BA i P CA maj _{}a równe pola.

3. Aby podzielić tabliczk_{}e czekolady na pojedyncze kostki, wystarczy nie wi_{}ecej niż 32 łamań, jeśli tabliczka ma wymiary:

5 × 7. 4 × 8. 3 × 11.

4. Dziesi_{}eć kulek o promieniu 1 zmieści si_{}e w prostopadłościennym pudełku o wymiarach 6 × 6 × 3, 5. 6 × 7, 5 × 2. 4 × 4 × 6, 5.

5. Ślimak wchodzi na słup telegraficzny o wysokości 399cm. Rusza o świcie dnia pierwszego, musi dotrzeć na szczyt najpóźniej jedenastego dnia. W ci _{}agu dnia wchodzi o x centymetrów, zaś w nocy śpi i zsuwa si_{}e o y centymetrów. Uda mu si_{}e, jeśli

x = 80, y = 40.

x = 110, y = 80.
x = 40, y = 4.

6*. Trójmian kwadratowy P (x) spełnia warunki: P (−1) = 3, P (0) = −5, P (1) = 7. Wówczas suma współczynników wielomianu (P (x))^{2} jest mniejsza niż 50. wyraz wolny trójmianu P (x) jest dodatni. współczynnik przy x^{2} wynosi 10.

7. Murzynek Bambo mieszka pod Libreville (stolica Gabonu, na równiku, 10^{∘} długości wschodniej), Arab Alladyn mieszka w wiosce na pustyni (30^{∘} szerokości północnej, 10^{∘} długości wschodniej), a Norweg Hagar mieszka pod Oslo (60^{∘} szerokości północnej, 10^{∘} długości wschodniej). Wszyscy trzej kupili sobie identyczne poduszkowce i umówili si_{}e, że w tym samym momencie rusz _{}a nimi na wschód, podróżuj _{}ac z t _{}a sam _{}a pr_{}edkości _{}a.

W czasie jak Hagar zrobi siedem kółek wokół Ziemi, Alladyn zd _{}aży już być na pi _{}atym okr _{}ażeniu.

Nast _{}api moment, w którym znów wszyscy b_{}ed _{}a na jednym południku.

Gdy Bambo po raz pierszy wróci do swojego domu, Hagar b_{}edzie miał za sob _{}a pełne dwa kółka.

8. Onufry stoi w punkcie kratowym. W każdej minucie porusza si_{}e o metr w losowym kierunku: północ, południe, wschód, zachód, z prawdopodobieństwem \frac{1}{4} każdy. p_{n} oznacza prawdopodobieństwo, że po n minutach Onufry znajdzie si_{}e w punkcie wyjścia. Wówczas

p_{2} = \frac{1}{4}. p_{5} > \frac{1}{541}. p_{4} > \frac{1}{8}.

9. Kwadrat KLMN jest zawarty całkowicie wewn _{}atrz kwadratu ABCD, przy czym czworok _{}aty ABLK, BCML, CDNM, DAKN s _{}a poprawnymi czworok _{}atami. Suma pól czworok _{}atów BCML i DAKN jest równa sumie pól czworok _{}atów ABLK i CDNM

jeśli środki kwadratów ABCD i KLMN si_{}e pokrywaj _{}a.

wtedy i tylko wtedy, jeśli środek kwadratu KLMN leży na przek _{}atnej kwadratu ABCD. zawsze.

10*. W Ksi_{}estwie Hofmańskim jest 541 miast, oraz pomi_{}edzy niektórymi z nich s _{}a drogi jednokierunkowe. Na skutek dekretu Jaśnie Nam Panuj _{}acego Hofmana, z każdego miasta wychodzi tyle samo dróg co do niego wchodzi.

Ksi _{}aże Hofman może objechać wszystkie drogi w ksi_{}estwie, każd _{}a przejeżdżaj _{}ac dokładnie raz.

Jeśli Ksi _{}aże Hofman może dojechać ze stolicy do każdego miasta, to z każdego miasta może wrócić do stolicy.

Każde miasto płaci podatek - 2 denary od każdej drogi, która ma w nim pocz _{}atek lub koniec. Wpływy kasy ksi_{}estwa z racji tego podatku mog _{}a wynosić 31242 denary.

11. Dane s _{}a funkcje f : ℝ → ℝ i g : ℝ → ℝ. Funkcja f jest nieparzysta. Wówczas funkcja h(x) = g(f(x)) jest nieparzysta. jeśli funkcja i(x) = f(g(x^{2})) jest nieparzysta, to jest wielomianem. funkcja j(x) = f(x)g(x^{4}) jest nieparzysta.

12. Ustawiamy figury szachowe na szachownicy tak, aby si_{}e nie biły. Można umieścić tak 8 figur, jeśli szachownica ma kształt

prostok _{}ata 7 × 9, a ustawiamy wieże.

kwadratu 8 × 8 z wyci_{}etymi w rogach kwadratami 2 × 2, a ustawiamy wieże.

wszystkich czarnych pól szachownicy 8 × 8, a ustawiamy hetmany.

13. Dany jest sześciok _{}at ABCDEF taki, że |F A| = |F C| = |F E| oraz |∡CDE| = |∡EAC| = 90^{∘}.

|∡F CA| = |∡ADE|.

|∡CEA| + |∡CDA| = |∡CF A|.

Punkty D, F, A musz _{}a być współliniowe.

14*. Funkcja f : ℝ → ℝ spełnia warunek f(x + 2) = f(x) dla każdego x ∈ ℝ. Wówczas dla każdego x < 0 zachodzi f(x − 3) = f(x + 7). możliwe jest, że dla każdego x ∈ ℝ zachodzi f(x) = f(x + \frac{324}{541}) i f nie jest funkcj _{}a stał _{}a. jeśli dla każdego x > 0 istnieje y > 0, y < x, że dla każdego z ∈ ℝ zachodzi f(z + y) =

f(z), to funkcja f jest stała.

15. W sali jest 42 polityków, 17 kłamców i 25 złodziei, przy czym wiadomo, że jest 7 polityków, którzy jednoczeście kłami _{}a i kradn _{}a.

Jest co najmniej siedmiu uczciwych polityków (nie kłami _{}a i nie kradn _{}a).

Jest co najwyżej dziesi_{}eciu kłamliwych złodziei.

Na sali może być 49 osób.

16. Ulubion _{}a zabaw _{}a z liczbami Joasi jest sumowanka. Aby zabawić si_{}e w sumowank_{}e należy wzi _{}ać jak _{}as liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a. Nast_{}epnie zsumować jej cyfry, a nast_{}epnie zsumować cyfry otrzymanej sumy, itd., aż otrzymamy liczb_{}e jednocyfrow _{}a. Ta liczba jest wynikiem sumowanki.

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej sumowanka kiedyś si_{}e skończy.

Wynikiem sumowanki dla liczby 46764423342557623 jest 1.

Wynikiem sumowanki dla 2004^{2004} jest 8.

17. Głównymi miastami Ksi_{}estwa Hofmańskiego s _{}a: stolica Hofmandria oraz Hofmanogród, Hofenburg i Hofengard. Odległości wynosz _{}a odpowiednio: Hofmandria - Hofmanogród: 60 km, Hofmanogród - Hofenburg: 45km, Hofmanogród - Hofengard: 108km, Hofengard - Hofenburg: 117km, Hofengard - Hofmandria: 48km. Wówczas odległość mi_{}edzy Hofmandri _{}a a Hofenburgiem:

może być mniejsza niż 70km. wynosi dokładnie 75km. musi być wi_{}eksza niż 73km.

18. Suma ∑ _{i=1}^{n} i^{5} jest równa \frac{1}{6}(n + 1)^{6} − \frac{1}{2}(n + 1)^{5} + \frac{5}{12}(n + 1)^{4} − \frac{1}{12}(n + 1)^{2}. −120 + 294n − \frac{1083}{4}n^{2} + \frac{245}{2}n^{3} − \frac{115}{4}n^{4} + 4n^{5}. ∑ _{i=2n}^{3n} (i − 2n)^{5}.

19. Onufry i Joasia graj _{}a w gr_{}e. Plansza jest paskiem długości n ∈ ℕ (n > 2004) i szerokości 1, podzielonym na n jednostkowych kratek. Maj _{}a do dyspozycji dowoln _{}a liczb_{}e pasków o długościach k ∈ ℕ i l ∈ ℕ i szerokościach 1, przy czym k + l = 99. Ruch polega na położenia jednego dost_{}epnego paska na planszy, tak, by pokrywał tylko całe kratki i nie pokrywał si_{}e z wcześniej położonym paskiem. Joasia rozpoczyna, a przegrywa ten, kto nie może położyć już paska. Jeśli Onufry gra optymalnie, to

Joasia zawsze może wygrać.

Joasia może wygrać wtedy i tylko wtedy gdy n jest parzyste. Joasia może wygrać, jeśli n jest pierwsze.

20*. W pewnym państwie jest n miast. Pomi_{}edzy niektórymi z nich s _{}a drogi, przy czym dla dowolnie wybranych trzech miast istnieje dokładnie jedna lub dokładnie dwie z trzech możliwych ł _{}acz _{}acych je dróg. Jest możliwe, aby

n = 4. n = 5. n = 6.

21. Joasia uwielbia robić super-pierogi. Aby zrobić super-pieroga Joasia potrzebuje kilogram ciasta, aczkolwiek po skończeniu pieroga zostaje jej 200 gramów ciasta, które może dalej wykorzystać. Joasia ma 541 kilogramów ciasta, zaś Onufry jest syty, gdy zje dwa pierogi. Joasia jest w stanie nakarmić

334 Onufrych. 336 Onufrych. 338 Onufrych.

22. Równanie 69x + 51y = C ma rozwi _{}azanie w liczbach całkowitych dodatnich x, y, jeśli C = 2317. C = 291. C = 1053.

23*. Czy na szachownicy 8 × 8 można położyć, by si_{}e nie biły:

33 skoczki? 4 wieże i 4 gońce? 8 hetmanów i skoczek?

24. Ze zwykłego zegarka wskazówkowego zmazano wszystkie oznaczenia godzin i zostały tylko wskazówki. Zegar leży w poziomie na ziemi. Joasia patrzy na zegarek przez bardzo długo i zaznacza miejsca, w których możliwe jest, że wcześniej była godzina dwunasta (tj. wskazówki si_{}e pokryły). Miejsc tych jest:

6. 12. nieskończenie wiele.

25. Onufry układa pasjansa. Ma 32 karty (od siódemek w góre), dobrze potasowane. Kładzie po kolei karty na stół. Jeśli położył kart_{}e tego samego koloru karcianego, co ostatnia leż _{}aca na stole (jeśli jest), i wyższ _{}a, to zdejmuje obie karty. Wartość oczekiwana liczby zdj_{}etych kart

wynosi dokładnie 7. jest wi_{}eksza niż 3,5. jest liczb _{}a niewymiern _{}a.

26. Spośród wszystkich funkcji g : ℝ → ℝ funkcja f(x) = x jest jedyn _{}a funkcj _{}a dla której dla dowolnych x, y ∈ ℝ

f(x) + f(y + 1) = f(x + y) + 1 + f(0). xyf(x)f(y) = f(x^{2})f(y^{2}). f(x + y)f(x^{2} − xy + y^{2}) = x^{3} + y^{3}.

27. Przecinaj _{}ac płaszczyzn _{}a ośmiościan foremny można otrzymać w przekroju kwadrat. romb nie b_{}ed _{}acy kwadratem. sześciok _{}at foremny.

28. Wielomian x^{3}− 17x^{2}+ Bx + 1001 ma trzy pierwiastki rzeczywiste, w tym dwa całkowite. Trzeci pierwiastek musi być całkowity. Istnieje całkowity pierwiastek podzielny przez 13. Wszystkie trzy pierwiastki musz _{}a być wymierne.

29. Równanie (a + b\sqrt{3})^{4} = 5 + 3\sqrt{3} ma rozwi _{}azanie w liczbach a, b całkowitych. wymiernych. rzeczywistych.

30*. Muzeum ma kształt n-k _{}ata, którego pilnuje k strażników. Strażnik widzi wszystko wokół niego, ale nie może patrzeć przez ściany (ale widzi wzdłuż ściany - same punkty ściany i wierzchołki muzeum s _{}a jeszcze przeźroczyste). Muzeum jest upilnowane, jeśli każdy punkt muzeum jest widziany przez przynajmniej jednego strażnika.

Jeśli n = 901, to możemy potrzebować aż 300 strażników, by upilnować muzeum. Jeśli n = 2004, to istnieje muzeum, gdzie potrzeba dokładnie dwóch strażników, by je

upilnować.

Dla n = 2004 na pewno wystarczy 2004 strażników do upilnowania muzeum.