.......................................................................  ...........  ................................
imie i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na V Warsztaty Matematyczne

Klasa pierwsza

Na pytania odpowiada się �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” bądź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji:

Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty. Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Liczba 2004^{2004} − 2451^{134} jest podzielna przez 5. jest podzielna przez 7. jest podzielna przez 9.

2*. Dany jest trójk _{}at nierównoramienny ABC. Na półprostych AB i AC zaznaczono punkty D i E odpowiednio, takie, że |AD| = |AE| oraz odcinki DE i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, który jest środkiem odcinka BC. Wówczas:

punkt P jest też środkiem odcinka DE.

k _{}at P DB może być prosty.

trójk _{}aty P BA i P CA maj _{}a równe pola.

3. Aby podzielić tabliczk_{}e czekolady na pojedyncze kostki, wystarcz _{}a 32 łamania, jeśli tabliczka ma wymiary:

5 × 7. 4 × 8. 3 × 11.

4. Dziesi_{}eć kulek o promieniu 1 zmieści si_{}e w prostopadłościennym pudełku o wymiarach 6 × 6 × 3, 5. 6 × 7, 5 × 2. 4 × 4 × 6, 5.

5. Ślimak wchodzi na czterometrowy słup telegraficzny. Rusza o świcie dnia pierwszego, musi dotrzeć na szczyt najpóźniej jedenastego dnia. W ci _{}agu dnia wchodzi o x centymetrów, zaś w nocy śpi i zsuwa si_{}e o y centymetrów. Uda mu si_{}e, jeśli

x = 80, y = 40. x = 110, y = 80. x = 40, y = 4.

6. Kwadrat KLMN jest zawarty całkowicie wewn _{}atrz kwadratu ABCD, przy czym czworok _{}aty ABLK, BCML, CDNM, DAKN s _{}a poprawnymi czworok _{}atami. Suma pól czworok _{}atów BCML i DAKN jest równa sumie pól czworok _{}atów ABLK i CDNM

jeśli środki kwadratów ABCD i KLMN si_{}e pokrywaj _{}a.

wtedy i tylko wtedy, jeśli środek kwadratu KLMN leży na przek _{}atnej kwadratu ABCD. zawsze.

7. W Ksi_{}estwie Hofmańskim jest 541 miast, oraz pomi_{}edzy niektórymi z nich s _{}a drogi jednokierunkowe. Na skutek dekretu Jaśnie Nam Panuj _{}acego Hofmana, z każdego miasta wychodzi tyle samo dróg co do niego wchodzi.

Ksi _{}aże Hofman może objechać wszystkie drogi w ksi_{}estwie, każd _{}a przejeżdżaj _{}ac dokładnie raz.

Jeśli Ksi _{}aże Hofman może dojechać ze stolicy do każdego miasta, to z każdego miasta może wrócić do stolicy.

Każde miasto płaci podatek - 2 denary od każdej drogi, która ma w nim pocz _{}atek lub koniec. Wpływy kasy ksi_{}estwa z racji tego podatku mog _{}a wynosić 31242 denary.

8. Dane s _{}a funkcje f : ℝ → ℝ i g : ℝ → ℝ. Funkcja f jest nieparzysta. Wówczas funkcja h(x) = g(f(x)) jest nieparzysta. jeśli funkcja i(x) = f(g(x^{2})) jest nieparzysta, to jest stała. funkcja j(x) = f(x)g(x^{4}) jest nieparzysta.

9. Ustawiamy figury szachowe na szachownicy tak, aby si_{}e nie biły. Można umieścić tak 8 figur, jeśli szachownica ma kształt

prostok _{}ata 7 × 9, a ustawiamy wieże.

kwadratu 8 × 8 z wyci_{}etymi w rogach kwadratami 2 × 2, a ustawiamy wieże.

wszystkich czarnych pól szachownicy 8 × 8, a ustawiamy hetmany.

10. Dany jest sześciok _{}at ABCDEF taki, że |F A| = |F C| = |F E| oraz |∡CDE| = |∡EAC| = 90^{∘}.

|∡F CA| = |∡ADE|.

|∡CEA| + |∡CDA| = |∡CF A|.

Punkty D, F, A musz _{}a być współliniowe.

11. W sali jest 42 polityków, 17 kłamców i 25 złodziei, przy czym wiadomo, że jest 7 polityków, którzy jednoczeście kłami _{}a i kradn _{}a.

Jest co najmniej siedmiu uczciwych polityków (nie kłami _{}a i nie kradn _{}a). Jest co najwyżej dziesi_{}eciu kłamliwych złodziei. Na sali może być 49 osób.

12. Ulubion _{}a zabaw _{}a z liczbami Joasi jest sumowanka. Aby zabawić si_{}e w sumowank_{}e należy wzi _{}ać jak _{}as liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a. Nast_{}epnie zsumować jej cyfry, a nast_{}epnie zsumować cyfry otrzymanej sumy, itd., aż otrzymamy liczb_{}e jednocyfrow _{}a. Ta liczba jest wynikiem sumowanki.

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej sumowanka kiedyś si_{}e skończy. Wynikiem sumowanki dla liczby 46764423342557623 jest 1. Wynikiem sumowanki dla 2004^{2004} jest 8.

13. Głównymi miastami Ksi_{}estwa Hofmańskiego s _{}a: stolica Hofmandria oraz Hofmanogród, Hofenburg i Hofengard. Odległości wynosz _{}a odpowiednio: Hofmandria - Hofmanogród: 60 km, Hofmanogród - Hofenburg: 45km, Hofmanogród - Hofengard: 108km, Hofengard - Hofenburg: 117km, Hofengard - Hofmandria: 48km. Wówczas odległość mi_{}edzy Hofmandri _{}a a Hofenburgiem:

może być mniejsza niż 70km. wynosi dokładnie 75km. musi być wi_{}eksza niż 73km.

14*. W pewnym państwie jest n miast. Pomi_{}edzy niektórymi z nich s _{}a drogi, przy czym dla dowolnie wybranych trzech miast istnieje dokładnie jedna lub dokładnie dwie z trzech możliwych ł _{}acz _{}acych je dróg. Jest możliwe, aby

n = 4.

n = 5.
n = 6.

15*. Joasia uwielbia robić super-pierogi. Aby zrobić super-pieroga Joasia potrzebuje kilogram ciasta, aczkolwiek po skończeniu pieroga zostaje jej 200 gramów ciasta, które może dalej wykorzystać. Joasia ma 541 kilogramów ciasta, zaś Onufry jest syty, gdy zje dwa pierogi. Joasia jest w stanie nakarmić

334 Onufrych. 336 Onufrych. 338 Onufrych.

16. Przecinaj _{}ac sześcian płaszczyzn _{}a można otrzymać trójk _{}at rozwartok _{}atny. pi_{}eciok _{}at foremny. sześciok _{}at foremny.

17. Ze zwykłego zegarka wskazówkowego zmazano wszystkie oznaczenia godzin i zostały tylko wskazówki. Zegar leży w poziomie na ziemi. Joasia patrzy na zegarek przez bardzo długo i zaznacza miejsca, w których możliwe jest, że wcześniej była godzina dwunasta (tj. wskazówki si_{}e pokryły). Miejsc tych jest:

6. 12. nieskończenie wiele.

18. Suma czterech kolejnych liczb całkowitych może być kwadratem liczby całkowitej. musi być kwadratem liczby rzeczywistej. może być podzielna przez 7.

19. Spośród wszystkich funkcji g : ℝ → ℝ funkcja f(x) = x jest jedyn _{}a funkcj _{}a dla której dla dowolnych x, y ∈ ℝ

f(x) + f(y + 1) = f(x + y) + 1 + f(0). xyf(x)f(y) = f(x^{2})f(y^{2}). f(x + y)f(x^{2} − xy + y^{2}) = x^{3} − y^{3}.

20*. Czy na szachownicy 8 × 8 można położyć, by si_{}e nie biły:

33 skoczki? 4 wieże i 4 gońce? 8 hetmanów i skoczek?

21. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC obrano punkt P, zaś na boku BC punkt D. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie BP D przecina bok AB w punkcie F, zaś okr _{}ag opisany na trójk _{}acie CP D przecina bok AC w punkcie E.

Punkty B, P i E s _{}a współliniowe. Punkt C jest spodkiem wysokości trójk _{}ata ABC. Na czworok _{}acie AEP F da si_{}e opisać okr _{}ag.

22*. Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych musi być liczb _{}a pierwsz _{}a. może być liczb _{}a pierwsz _{}a. musi być podzielny przez 3.

23. x^{2} + \frac{1}{x^{2}} jest liczb _{}a całkowit _{}a. Wówczas

x + \frac{1}{x} musi być liczb _{}a całkowit _{}a. x^{6} + \frac{1}{x^{6}} musi być liczb _{}a całkowit _{}a. x^{2} + \frac{1}{x^{2}} > \frac{π}{2}.

24. Czy istnieje koło, gdzie wymiernymi s _{}a obwód i długość promienia. obwód i pole. pole.

25*. Ci _{}agiem Fibonacciego nazywamy ci _{}ag spełniaj _{}acy warunki: F_{1} = 1, F_{2} = 2 oraz F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla każdego n całkowitego dodatniego.

Istnieje wyraz ci _{}agu Fibonacciego podzielny przez 7. Dla każdego n > 1 zachodzi F_{1} + F_{2} + …F_{n} = F_{n+2} − 2. Istnieje wyraz ci _{}agu Fibonacciego b_{}ed _{}acy kwadratem liczby całkowitej.

26. Sfera może mieć z kraw_{}edziami czworościanu foremnego 4 punkty wspólne. 5 punktów wspólnych. 12 punktów wspólnych.

27. n różnymi prostymi można podzielić płaszczyzn_{}e na dokładnie 2^{n} cz_{}eści. \frac{n(n+1)}{2} + 1 cześci. n cz_{}eści.

28. Czy istnieje trójk _{}at prostok _{}atny o bokach, których długości s _{}a liczbami nieparzystymi. kolejnymi wyrazami ci _{}agu geometrycznego. całkowite i s _{}a kolejnymi wyrazami ci _{}agu arytmetycznego.

29*. Muzeum ma kształt n-k _{}ata, którego pilnuje k strażników. Strażnik widzi wszystko wokół niego, ale nie może patrzeć przez ściany (ale widzi wzdłuż ściany - same punkty ściany i wierzchołki muzeum s _{}a jeszcze przeźroczyste). Muzeum jest upilnowane, jeśli każdy punkt muzeum jest widziany przez przynajmniej jednego strażnika.

Jeśli n = 901, to możemy potrzebować aż 300 strażników, by upilnować muzeum.

Jeśli n = 2004, to istnieje muzeum, gdzie potrzeba dokładnie dwóch strażników, by je upilnować.

Dla n = 2004 na pewno wystarczy 2004 strażników do upilnowania muzeum.

30. Na ulicy Szkolnej są po kolei ustawione cztery budynki z numerami kolejno 1, 2, 3, 4. Mieszka tam czwórka przyjaciół: Marysia, Albercik, Piotruś i Karolek (po jednym w każdym domu, oczywiście). Każdy z nich lubi jeden z przedmiotów w szkole: WOS, język polski, język hiszpański i przedsiębiorczość (każdy lubi inny). Każdy z nich maniakalnie gra również w jedną z gier komputerowych: AvP, The Sims, Król Lew i Wolf3D (każdy w inną). Przy tym wiadomo, że:

1. Osoba mieszkająca w budynku numer 2 lubi język polski.

2. Albercik jest sąsiadem Marysi.

3. Piotruś mieszka na skraju ulicy (czyli w 1 lub 4).

4. Osoba grająca w AvP nie mieszka obok osoby grającej w The Sims.

5. Zarówno osoba lubiąca hiszpański jak i ta lubiąca WOS nie gra w The Sims.

6. Osoba grająca w Wolf3D mieszka pod numerem 4.

7. Piotruś nie lubi hiszpańskiego.

8. Marysia nie lubi języka polskiego.

9. Albercik lubi przedsiębiorczość.

Wówczas: Piotruś mieszka pod numerem 4. Piotruś gra w The Sims. Marysia lubi język hiszpański.