Pi_{}eciogodzinówka, dzień czwarty

luty 2005

10. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje funkcja f : ℤ^{+} → ℤ^{+} taka, że dla każdego n ∈ ℤ^{+} zachodzi f(f(n)) = n + 1.

11. Odcinek AD jest wysokości _{}a trójk _{}ata ostrok _{}atnego nierównoramiennego ABC. Punkty E i F s _{}a odpowiednio rzutami punktu D na odcinki AB i AC. Proste EF i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie K. Punkt L jest punktem środkowosymetrycznym do A wzgl_{}edem środka okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC. Wykazać, że DL ⊥ AK.

12. Podziałem zbioru nazywamy dowolny zbiór jego parami rozł _{}acznych podzbiorów, sumuj _{}acych si_{}e do całego zbioru. Dla dowolnego podziału p przez p(x) oznaczamy liczb_{}e elementów tego elementu podziału, do którego należy x. Pokazać, że dla dowolnych podziałów p i q zbioru {1, 2, …, 9} istniej _{}a takie x i y, że p(x) = p(y) i q(x) = q(y).