Pi_{}eciogodzinówka, dzień drugi, rozwi _{}azania zadań

luty 2005

4. Rozstrzygnij, czy szachownice 6 × 6 da si_{}e pokryć kostkami domina 2 × 1, tak, aby każda z 10 linii dziel _{}acych kratki szachownicy była przeci_{}eta przez co najmniej jedno domino.

Rozwi _{}azanie. Nie, nie da si_{}e. Zauważmy, iż każda linia dziel _{}aca dzieli szachownic_{}e na dwa kawałki o parzystym polu. W zwi _{}azku z tym przecinać j _{}a musi parzyście wiele domin, czyli przynajmniej 2 domina. Ale jest tylko 18 domin, a 10 linii.

■

5. Znajdź wszystkie funkcje f : ℚ → ℚ spełniaj _{}ace dla każdych x, y ∈ ℚ równość

f(x + f(y)) = f(x) + y.

Rozwi _{}azanie.

(x = 0) ⇒ f(f(x)) = f(0) + x.
f(x) + y = f(x + f(y)) = f(f(y + f(x))) = y + f(x) + f(0) ⇒ f(0) = 0

oraz mamy, z pierwszego, f(f(x)) = x. Pokaż_{}e teraz, że f(nf(k)) = nk dla n ∈ ℕ, k ∈ ℚ. Zrobi_{}e to przez indukcj_{}e. Dla n = 1 zgadza si_{}e, gdyż f(f(k)) = k. Przypuśćmy, że dla n − 1 jest ok.

x = nf(k), y = k ⇒ f(nf(k)) = f((n−1)f(k)+f(k)) = f((n−1)f(k))+k = (n−1)k +k = nk

Zauważmy, że f jest różnowartościowa, gdyż gdyby f(a) = f(b), to wtedy

a = f(f(a)) = f(f(b)) = b.

Mamy zatem

f(af(b)) = ab = f(f(ab)) ⇒ af(b) = f(ab).

A wi_{}ec

f(\frac{p}{q}) = f(p) · \frac{1}{q} = f(1) · p · \frac{1}{q} = f(1)\frac{p}{q} ⇒ f(x) = xf(1).

Podstawmy wi_{}ec do głownego równania, to może wyjdzie, jakie powinno być f(1). Mamy:

(x + yf(1))f(1) = xf(1) + y ⇒ f(1)^{2} · y = y ⇒ f(1)^{2} = 1.

Musi być wi_{}ec f(1) = 1 lub f(1) = −1. Sprawdzamy, że funkcje f(x) = x oraz f(x) = −x spełniaj _{}a warunki zadania, wi_{}ec s _{}a to jedyne funkcje.

■

6. Punkty D, E i F s _{}a dowolnymi punktami leż _{}acymi na odpowienio symetralnych boków BC, AC i AB trójk _{}ata ABC. Proste k, l, m s _{}a prostymi przechodz _{}acymi przez odpowiednio wierzchołki A, B i C oraz prostopadłymi do odpowiednio prostych EF, DF, DE. Wykazać, że proste k, l i m przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

Rozwi _{}azanie. Niech okr _{}ag ω_{D} b_{}edzie okr_{}egiem o środku w D i promieniu DB = DC (D leży na symetralnej BC). Analogicznie definiujemy okr_{}egi ω_{E} i ω_{F}. Okr_{}egi ω_{D} i ω_{E} przecinaj _{}a si_{}e w punkcie C, prosta DE jest prost _{}a ł _{}acz _{}aca ich środki, wobec tego prosta m jest ich osi _{}a pot_{}egow _{}a. Analogicznie prosta k jest osi _{}a pot_{}egow _{}a okr_{}egów ω_{E} i ω_{F}, zaś prosta l jest osi _{}a pot_{}egow _{}a okr_{}egów ω_{D} i ω_{F}. Ale osie pot_{}egowe trzech okr_{}egów przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

■