Pi_{}eciogodzinówka, dzień pierwszy

luty 2005

1. Rozstrzygnij, czy istniej _{}a liczby naturalne a > b > 1 takie, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej k istnieje liczba całkowita dodatnia n, dla której an+b jest k-t _{}a poteg _{}a pewnej liczby całkowitej dodatniej.

2. Punkt D jest takim punktem boku AB trójk _{}ata ABC, że 3 · AD = BD. Punkt E jest takim punktem łuku AC okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC, niezawieraj _{}acym punktu B, że ∡ADE = ∡ACB. Wykazać, że 2 · DE = EB.

3. W każde pole szachownicy 2005 × 2005 wpisana dostała liczba o module niewi_{}ekszym niż 1. W każdym kwadracie 2 × 2 suma liczb wynosi 0. Wykazać, że w całym kwadracie suma liczb jest nie wi_{}eksza niż 2005.