Wielomiany

Krótki skrót teorii

A. Wielomianem nazywamy funkcj_{}e W : ℝ → ℝ dan _{}a wzorem: W (x) = a_{n}x^{n}+a_{n−1} x^{n−1} + …+ a_{1}x + a_{0} dla pewnych liczb rzeczywistych a_{0}, a_{1}, …, a_{n}. Liczby a_{i} nazywamy współczynnikami wielomianu W, zaś n jest jego stopniem. Liczb_{}e c tak _{}a, że W (c) = 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W.

B. Twierdzenie Bezout. Liczba rzeczywista c jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy gdy wielomian W da si_{}e przedstawić w postaci W (x) = (x − c)P (x) dla pewnego wielomianu P.

C. Wnioski z twierdzenia Bezout. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków. Jeśli wielomian W miał współczynniki całkowite i c ∈ ℤ, to wielomian P także ma współczynniki całkowite.

D. Wzory Viete’a Jeśli x_{1}, x_{2}, …, x_{n} s _{}a pierwiastkami wielomianu W (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + … + a_{1}x + a_{0} to zachodz _{}a nast_{}epuj _{}ace równości:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + … + x_{n} = −\frac{a_{n−1}}{a_{n}} \\ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + … + x_{n−1} x_{n} = \frac{a_{n−2}}{a_{n}} \\ … \\ x_{1}x_{2}x_{3} …x_{n} = (−1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{matrix}

(w każdej sumie wyst_{}epuje \binom{n}{i} składników, sumujemy wszystkie iloczyny i różnych pierwiastków). W szczególności dla wielomianu W (x) = ax^{2} + bx + c zachodzi:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = −\frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}

zaś dla wielomianu W (x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d zachodzi:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = −\frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = \frac{c}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3} = − = −\frac{d}{a} \end{matrix}

E. Wielomian W jest wielomianem całkowitoliczbowym jeśli wszystkie jego współczynniki s _{}a liczbami całkowitymi. Wówczas jeśli x ∈ ℤ to W (x) ∈ ℤ.

F. Jeśli W (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1} x^{n−1} + …+ a_{1}x + a_{0} jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i liczba wymierna \frac{p}{q} jest jego pierwiastkiem, przy czym p ⊥ q, to p | a_{0} i q | a_{n}. Wniosek: jeśli a_{n} = 1 i x ∈ ℚ jest pierwiastkiem wielomianu całkowitoliczbowego W, to x ∈ ℤ.

G. Jeśli W jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i a, b ∈ ℤ, a ≠ b, to a − b | W (a) − W (b).

Zadania

1. Dany jest wielomian W (x) = x^{4}−3x^{3}+4x^{2}+7x+1. Przedstaw ten wielomian jako sum_{}e W (x) = P (x)(x − 2) + c dla pewnego wielomianu P i liczby całkowitej c.

2. Równania ax^{2} + bx + c oraz dx^{2} + ex + f maj _{}a te same dwa pierwiastki. Z tego wynika, że

a = d.

ae = bd.

c + f = 0.

3. (II etap LII OM) Wielomian W (x) = x^{n} + a_{n−3} x^{n−3} + a_{n−4} x^{n−4} + … + a_{1}x + a_{0} ma n pierwiastów rzeczywistych. Wykaż, że a_{0} = a_{1} = a_{2} = … = a_{n−3} .

4. Rozwi _{}aż w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań:

\{ \begin{matrix}x + y + z = 2 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 20. \end{matrix}

5. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W (x) = x^{20} − 20x^{19} + a_{18}x^{18} + a_{17}x^{17} + …+ a_{1}x^{1} + 1 wiedz _{}ac, że wszystkie one s _{}a dodatnie.

6. Znajdź pierwiastki wielomianu W (x) = 2x^{4} − x^{3} − 14x^{2} − 5x + 6.

7. Niech W b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że 2 | W (5) i 5 | W (2). Wykaż, że 10 | W (7).

8. Czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych stopnia dodatniego taki, żeby dla pewnych różnych liczb całkowitych a, b i c zachodziło W (a) = b, W (b) = c i W (c) = a?

9. Czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych stopnia dodatniego taki, żeby dla każdej liczy całkowitej dodatniej n liczba W (n) była liczb _{}a pierwsz _{}a?

10. Wielomian W o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 5 dla czterech różnych argumentów całkowitych. Udowodnij, że dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje on wartości 8.

11. (Baltic Way’91) Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnij, że jeśli dla pewnego całkowitego n zachodzi P (−n) < P (n) < n, to P (−n) < −n.

12. (finał LIV OM) Czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych stopnia dodatniego taki, że dla każdego całkowitego dodatniego n zachodzi W (n) | 2^{n} − 1.