Trzecie zawody indywidualne

grupa pierwszoklasistów czwartek, 25 września 2003

51. W kwadracie ABCD na boku AB obrano taki punkt P, że 2|AP | = 3|P B|, zaś na przek _{}atnej AC taki punkt Q, że |AQ| = 4|QC|. Wykazać, że k _{}at DQP jest prosty.

52. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y, z takich, że x + y + z + 2 = xyz, zachodzi nierówność:

x^{2} + y^{2} + z^{2} 12.

53. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych x, y spełniaj _{}acych równanie

x^{2} + 3y^{2} = 1998x.

54. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym |BC| > |CA| > |AB|. Na boku BC tego trójk _{}ata obrano taki punkt D, a na półprostej BA taki punkt E, że |BD| = |BE| = |AC|. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie BED przecina bok BC w punkcie P, a prosta BP przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punkcie Q. Udowodnić, że |AQ| + |CQ| = |BP |.

55. W turnieju gry w Backgammon wzi_{}eli udział chłopcy i dziewczynki, przy czym każdy grał z każdym i nie zanotowano remisów. Okazało si_{}e, że każda osoba wygrała tyle razy z chłopcami, co z dziewczynkami. Wykazać, że liczba wszystkich graczy jest kwadratem liczby naturalnej.

Trzecie zawody indywidualne

grupa młodsza czwartek, 25 września 2003

52. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y, z takich, że x + y + z + 2 = xyz, zachodzi nierówność

x^{2} + y^{2} + z^{2} 12.

53. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych x, y spełniaj _{}acych równanie

x^{2} + 3y^{2} = 1998x.

54. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym |BC| > |CA| > |AB|. Na boku BC tego trójk _{}ata obrano taki punkt D, a na półprostej BA taki punkt E, że |BD| = |BE| = |AC|. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie BED przecina bok BC w punkcie P, a prosta BP przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punkcie Q. Udowodnić, że |AQ| + |CQ| = |BP |.

55. W turnieju gry w Backgammon wzi_{}eli udział chłopcy i dziewczynki, przy czym każdy grał z każdym i nie zanotowano remisów. Okazało si_{}e, że każda osoba wygrała tyle razy z chłopcami, co z dziewczynkami. Wykazać, że liczba wszystkich graczy jest kwadratem liczby naturalnej.

56. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych, stopnia wi_{}ekszego od 1, który przyjmuje dla każdego argumentu całkowitego wartość b_{}ed _{}ac _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a.

Trzecie zawody indywidualne

grupa starsza czwartek, 25 września 2003

54. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym |BC| > |CA| > |AB|. Na boku BC tego trójk _{}ata obrano taki punkt D, a na półprostej BA taki punkt E, że |BD| = |BE| = |AC|. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie BED przecina bok BC w punkcie P, a prosta BP przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punkcie Q. Udowodnić, że |AQ| + |CQ| = |BP |.

55. W turnieju gry w Backgammon wzi_{}eli udział chłopcy i dziewczynki, przy czym każdy grał z każdym i nie zanotowano remisów. Okazało si_{}e, że każda osoba wygrała tyle razy z chłopcami, co z dziewczynkami. Wykazać, że liczba wszystkich graczy jest kwadratem liczby naturalnej.

57. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że wielomian Q(x) = P (x^{4}) · P (x^{3}) · P (x^{2}) · P (x) + 1 nie ma pierwiastków całkowitych.

58. Szachownica 7 × 7 jest podzielona na 49 kwadratów jednostkowych. Joasia ma klocki dwóch typów: bardzo dużo klocków 3 × 1 oraz jeden klocek trzypolowy w kształcie narożnika. Onufry ma jeden klocek w kształcie kwadratu jednostkowego. Najpierw Onufry kładzie swój klocek przykrywaj _{}ac jedno pole szachownicy, a nast_{}epnie Joasia próbuje swoimi klockami pokryć reszt_{}e szachownicy.

(a) Wykazać, że złośliwy Onufry może tak postawić swój klocek, że Joasia nie b_{}edzie mogła pokryć szachownicy swoimi klockami.

(b) Wykazać, że jeśli damy Joasi jeszcze jeden narożnik, to Onufry już nie popsuje Joasi szyków.

59. Znaleźć zbiór możliwych wartości wyrażenia

f(x, y, z) = \{ \frac{xyz}{xy + yz + zx} \}

dla liczb całkowitych dodatnich x, y, z. Oznaczenie {x} = x − [x] oznacza cz_{}eść ułamkow _{}a x.

Trzecie zawody indywidualne

grupa najstarsza czwartek, 25 września 2003

58. Szachownica 7 × 7 jest podzielona na 49 kwadratów jednostkowych. Joasia ma klocki dwóch typów: bardzo dużo klocków 3 × 1 oraz jeden klocek trzypolowy w kształcie narożnika. Onufry ma jeden klocek w kształcie kwadratu jednostkowego. Najpierw Onufry kładzie swój klocek przykrywaj _{}ac jedno pole szachownicy, a nast_{}epnie Joasia próbuje swoimi klockami pokryć reszt_{}e szachownicy.

(a) Wykazać, że złośliwy Onufry może tak postawić swój klocek, że Joasia nie b_{}edzie mogła pokryć szachownicy swoimi klockami.

(b) Wykazać, że jeśli damy Joasi jeszcze jeden narożnik, to Onufry już nie popsuje Joasi szyków.

59. Znaleźć zbiór możliwych wartości wyrażenia

f(x, y, z) = \{ \frac{xyz}{xy + yz + zx} \}

dla liczb całkowitych dodatnich x, y, z. Oznaczenie {x} = x − [x] oznacza cz_{}eść ułamkow _{}a x.

510. Kwadratem magicznym o boku n nazywamy kwadrat n × n, w który wpisano liczby od 1 do n^{2} tak, że suma liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest taka sama. W kwadracie magicznym o boku n środki każdych dwóch pól poł _{}aczono wektorem tak, że zwrot tego wektora jest od pola z mniejsz _{}a liczb _{}a do pola z wi_{}eksz _{}a liczb _{}a. Wykazać, że suma tych wektorów jest wektorem zerowym.

511. Dla danej liczby całkowitej d definiujemy

S = {m^{2} + dn^{2} : m, n ∈ ℤ}.

Niech liczby p, q ∈ S b_{}ed _{}a takie, że p jest pierwsze i p | q. Udowodnić, że wówczas \frac{q}{p} ∈ S.

512. W trójk _{}acie ABC, gdzie AB > BC, punkty K i M s _{}a środkami boków AB i CA, a punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego. Niech P b_{}edzie punktem przeci_{}ecia prostych KM i CI oraz Q b_{}edzie takim punktem, że QP ⊥ KM i QM∥BI. Udowodnić, że QI ⊥ AC.