Par_{}e zadań troszk_{}e trudniejszych od pozostałych

1. Na szachownicy n × n szerzy si_{}e epidemia. Na pocz _{}atku zarażone jest k pól - ognisk epidemii. Jeżeli co najmniej dwóch z czterech s _{}asiadów niezarażonego pola jest zarażonych, to ono również staje si_{}e zarażone. Znaleźć najmniejsze k takie, że zarażona może zostać cała szachownica.

2. Rozważmy nieskończon _{}a szachownic_{}e o ponumerowanych liczbami całkowitymi wierszach i kolumnach. W kolumnach o numerach niedodatnich na każdym polu stoi pion. Ruch polega na wybraniu dwóch s _{}asiaduj _{}acych w wierszu lub kolumnie pionów, a nast_{}epnie przeskoczeniem jednym z nich przez drugi i zdj_{}eciem drugiego. Ruch wolno wykonać tylko o ile pole, na które skaczemy, jest puste. Udowodnij, że w skończonej liczbie ruchów nie da si_{}e doprowadzić żadnego z pionów do pi _{}atej kolumny.

3. n graczy uczestniczy w turnieju szachowym, w którym każdy z każdym rozgrywa dokładnie jedn _{}a parti_{}e. Po turnieju okazało si_{}e, że dla każdej czwórki uczestników istnieje wśród niej jeden, który z każdym pozostałym miał inny wynik meczu (wygrana, przegrana, remis). Udowodnij, że 6 n 9.

4. Zbiór {1, 2, …, 64} podzielono na cztery rozł _{}aczne zbiory. Udowodnić, że istniej _{}a liczby a, b, c (niekoniecznie różne), należ _{}ace do jednego zbioru, takie, że a + b = c.

5. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem nierównobocznym, którego środkiem okr_{}egu wpisanego jest I, a opisanego O. Punktami styczności okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC z bokami BC, AC i AB s _{}a odpowiednio punkty D, E i F. Udowodnij, że ortocentrum trójk _{}ata DEF leży na prostej IO.

6. Na bokach trójk _{}ata BC, CA i AB równoramiennego trójk _{}ata ABC, w którym |AB| = |BC|, obrano odpowiednio punkty D, E i F tak, by |∡BF D| = |∡CDE| = |∡BAC|. Proste BE i CF przecinaj _{}a ci_{}e w punkcie P. Wykaż, że na czworok _{}acie AEP F da si_{}e opisać okr _{}ag.

7. Dany jest sześciok _{}at wypukły, w którym każde dwa przeciwległe boki maj _{}a nast_{}epuj _{}ac _{}a własność: odległość pomi_{}edzy ich środkami jest równa sumie długości tych boków pomnożonej przez \frac{\sqrt{3}}{2}. Udowodnić, że wszystkie k _{}aty tego sześciok _{}ata s _{}a równe.

8. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ, które dla wszystkich x, y ∈ ℝ spełniaj _{}a równość:

f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) − x).

9. Dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ takich, że ∑ _{i=1}^{n} a_{i} = n, znaleźć najmniejsz _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia

∑_{i=1}^{n} \sqrt{a_{i}^{2} + (2i − 1)^{2}} .

10. a) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n 2 zachodzi podzielność (n!)^{n+1} |(n^{2})!

10. b) Znajdź wszystkie liczby naturalne n 2, dla których zachodzi podzielność (n!)^{n+2} |(n^{2})!

10. c) Znajdź tak _{}a liczb_{}e naturaln _{}a n 2, że zachodzi podzielność (n!)^{n+3} |(n^{2})!

11. Niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a. Dowieść, że istnieje taka liczba pierwsza q, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba n^{p} − p nie jest podzielna przez q.