Teoria liczb

1. Znaleźć takie liczby a, b ∈ ℕ, aby a, b < 1000 oraz liczba kroków w algorytmie Euklidesa potrzebnych do otrzymania NW D(a, b) była jak najwi_{}eksza. Ile jest tych kroków?

2. Udowodnij, że:

∘ NW D(F_{n}, F_{n+1} ) = 1

∘ n | m ⇒ F_{n} | F_{m}

∘ F_{n}^{2} = F_{n−1} · F_{n+1} + (−1)^{n+1}

3. Wykaż, że liczb pierwszych postaci 4k + 3, gdzie k ∈ ℕ jest nieskończenie wiele.

4. Niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a. Wykaż, że jeżeli p dzieli p - t _{}a liczb_{}e Grabowskiego, to p = 3.

5. Niech a, b ∈ ℕ oraz niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a. Wykaż, że jeżeli p | a^{p} − b^{p}, to p^{2} | a^{p} − b^{p}.

6. Wykaż, że w ci _{}agu Fibonacciego wyst_{}epuje nieskończenie wiele wyrazów kończ _{}acych 2003 zerami.