Klasóweczka

grupa pierwszoklasistów sobota, 27 września 2003

71. Odcinki AB i CD s _{}a średnicami okr_{}egu ω, a punkt M należy do tego okr_{}egu. Punkty P i R s _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu M na proste AB i CD. Wykazać, że, przy ustalonych średnicach AB i CD, długość odcinka P R nie zależy od wyboru punktu M.

72. 2n-cyfrow _{}a superliczb _{}a Grabowskiego (oznaczamy G_{n}) nazywamy liczb_{}e składaj _{}ac _{}a si_{}e w zapisie dziesi_{}etnym z n jedynek, a po nich n dwójek, np. liczby 12, 1122 s _{}a superliczbami Grabowskiego, ale liczby 11122 i 1212 już nie s _{}a. Udowodnić, że dla dowolnej liczby pierwszej p zachodzi:

p | G_{p} − 12.

73. Punktem kratowym nazywamy punkt o obu współrz_{}ednych całkowitych. Na płaszczyźnie obrano 5 parami różnych punktów kratowych. Udowodnić, że istniej _{}a wśród nich takie punkty A i B, że odcinek AB zawiera jeszcze przynajmniej jeden punkt kratowy oprócz A i B.

74. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d zachodzi nierówność:

16abcd (a + b)(b + c)(c + d)(d + a).

75. Dany jest trójk _{}at ABC. Prosta k równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach X i Y. Proste BX i AY przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. N jest punktem przeci_{}ecia prostych CP i AB. Wykazać, że pole trójk _{}ata ANX jest równe polu trójk _{}ata BNY.

Klasóweczka

grupa młodsza sobota, 27 września 2003

73. Punktem kratowym nazywamy punkt o obu współrz_{}ednych całkowitych. Na płaszczyźnie obrano 5 parami różnych punktów kratowych. Udowodnić, że istniej _{}a wśród nich takie punkty A i B, że odcinek AB zawiera jeszcze przynajmniej jeden punkt kratowy oprócz A i B.

74. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d zachodzi nierówność:

16abcd (a + b)(b + c)(c + d)(d + a).

75. Dany jest trójk _{}at ABC. Prosta k równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach X i Y. Proste BX i AY przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. N jest punktem przeci_{}ecia prostych CP i AB. Wykazać, że pole trójk _{}ata ANX jest równe polu trójk _{}ata BNY.

76. Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych 1 < m n zachodzi równość:

∑_{k=m}^{n} \binom{k − 1}{m − 1} (n + 1 − k) = \binom{n + 1}{m + 1} .

77. Na płaszczyźnie dane s _{}a okr_{}egi ω_{1}, ω_{2} i ω_{3}. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie A, okr_{}egi ω_{2} i ω_{3} w punkcie B, zaś okr_{}egi ω_{1} i ω_{3} w punkcie C. Proste AB i AC przecinaj _{}a okr _{}ag ω_{3} odpowiednio w punktach D i E (poza punktami B i C). Prosta DC przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach C i F, prosta BE zaś przecina okr _{}ag ω_{2} w punktach B i G. Wykazać, że punkt A, F i G s _{}a współliniowe.

Klasóweczka

grupa starsza sobota, 27 września 2003

77. Na płaszczyźnie dane s _{}a okr_{}egi ω_{1}, ω_{2} i ω_{3}. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie A, okr_{}egi ω_{2} i ω_{3} w punkcie B, zaś okr_{}egi ω_{1} i ω_{3} w punkcie C. Proste AB i AC przecinaj _{}a okr _{}ag ω_{3} odpowiednio w punktach D i E (poza punktami B i C). Prosta DC przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach C i F, prosta BE zaś przecina okr _{}ag ω_{2} w punktach B i G. Wykazać, że punkt A, F i G s _{}a współliniowe.

78. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c, d takich, że a+b+c 2 i b + c + d 7 zachodzi nierówność

\sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{c}+ \sqrt{d} 6.

79. Wyznacz wszystkie różnowartościowe funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla każdych x, y ∈ ℝ równanie:

f(f(x) + y) = f(y) − f(x).

710. Pi_{}eć różnych punktów A, B, C, D i E leży na prostej, przy czym |AB| = |BC| = |CD| = |DE|. Punkt F nie leży na tej prostej. Punkt G jest środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ADF, zaś H jest środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie BEF. Dowieść, że proste GH i F C s _{}a prostopadłe.

711. Niech x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech

S_{0} = 1,

S_{1} = x_{1} + x_{2} + ... + x_{n},

S_{2} = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + … + x_{1}x_{n} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + … + x_{2}x_{n} + … + x_{n−1} x_{n},

…,
S_{n} = x_{1}x_{2}...x_{n}.

Udowodnić, że:

∑_{k=0}^{n} S_{k}S_{n−k} \binom{2n}{n} S_{n}.

712. Na bokach trójk _{}ata ABC obrano sześć punktów, po dwa na każdym boku. Dla każdych dwóch boków cztery wybrane punkty leż _{}ace na nich leż _{}a na jednym okr_{}egu. Wykazać, że wszystkie sześć wybranych punktów leży na jednym okr_{}egu.

Klasóweczka

grupa najstarsza sobota, 27 września 2003

713. Niech q | \frac{p^{p}−1}{p−1} dla pewnych liczb pierwszych nieparzystych p, q. Udowodnić, że p | q−1.

714. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, b_{}ed _{}acych długościami boków trójk _{}ata, zachodzi nierówność:

\sqrt{a}(a + c − b) + \sqrt{b}(a + b − c) + \sqrt{c}(b + c − a) \sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2})(a + b + c)} .

715. W okr_{}egu ω dana jest ci_{}eciwa CE nieb_{}ed _{}aca średnic _{}a. Punkt D jest środkiem krótszego łuku CE, odcinek KD zaś jest średnic _{}a okr_{}egu ω. Punkty A i B należ _{}a odpowiednio do odcinków KE i KC. F jest takim punktem na odcinku AB, że \frac{|BF |}{|AF |} = \frac{|BC|}{|AE|}. Udowodnić, że |∡F CE| = |∡ADE|.

716. Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n} i dla dowolnych liczb dodatnich a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{n} takich, że a_{i} > πn dla i = 1, 2, 3, …, n, zachodzi nierówność:

\sqrt{1 + ∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i} − 1}{a_{i}}} 1 + ∑_{i=1}^{n} \frac{\sqrt{x_{i}} − 1}{a_{i}} .

717. Onufry i Joasia graj _{}a w gr_{}e. Na płaszczyźnie s _{}a narysowane 2002 wektory. Zaczyna Joasia i gracze na przemian zabieraj _{}a ze zbioru narysowanych wektorów po jednym wektorze, aż do wyczerpania zapasów. Wygrywa ten, kto na końcu b_{}edzie miał dłuższ _{}a sum_{}e wybranych wektorów, a w przypadku równej długości ogłaszany jest remis. Rozstrzygn _{}ać, czy niezależnie od pocz _{}atkowego zbioru wektorów Joasia zawsze może nie przegrać z Onufrym.

718 . Niech n ∈ ℤ^{+} . Obliczyć

∑_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{2^{k}}.