1. Dane jest m monet, z których wszystkie waża tyle samo oprócz jednej, której masa jest inna. Jakie jest najwi_{}eksze m takie, że podróbk_{}e da si_{}e znaleźć w co najwyżej n ważeniach na wadze szalkowej bez odważników, jeśli

(a) wiadomo czy moneta fałszywa jest ci_{}eższa czy lżejsza od pozostałych.

(b) nie wiadomo czy moneta fałszywa jest ci_{}eższa czy lżejsza od pozostałych.

2. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} dla których zachodzi x_{1}x_{2} …x_{n} zachodzi nierówność:

\frac{1}{n − 1 + x_{1}} + \frac{1}{n − 1 + x_{2}} + … + \frac{1}{n − 1 + x_{n}} 1.

3. W kwadracie ABCD na boku AB obrano taki punkt P, że 2|AP | = 3|P B|, zaś na przek _{}atnej AC taki punkt Q, że |AQ| = 4|QC|. Wykaż, że k _{}at DQP jest prosty.

4. W sześciok _{}acie wypukłym ABCDEF k _{}aty przy wierzchołkach A, C i E s _{}a równe oraz |AB| = |BC|, |CD| = |DE| i |EF | = |F A|. Wykazać, że w sześciok _{}at ABCDEF da si_{}e wpisać okr _{}ag.

5. Punkty A, B i C leż _{}a na prostej k w tej właśnie kolejności. Okr _{}ag o środku w punkcie O_{1} przechodzi przez punkty A i B, zaś okr _{}ag o środku O_{2} przechodzi przez punkty B i C, przy czym punkty O_{1} i O_{2} leż _{}a po tej samej stronie prostej k. Okr_{}egi te przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, zaś okr_{}egi opisane na trójk _{}atach O_{1}AB i O_{2}BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie Q. Wykazać, że jeśli punkty P, Q i B s _{}a współliniowe, to okr_{}egi opisane na trójk _{}atach ABO_{1} i BCO_{2} s _{}a przystaj _{}ace.

6. Ci _{}ag a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, … jest zdefiniowany nast_{}epuj _{}aco:

a_{0} i a_{n+1} = ^{\frac{3a_{n} +\sqrt{5a_{n}^{2} −4}}{2}} .

Wykazać, że wszystkie wyrazy ci _{}agu (a_{n}) s _{}a liczbami całkowitymi.

7. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych, który przyjmuje dla każdego argumentu całkowitego wartość b_{}ed _{}ac _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a.

8. Wykazać, że w sześcianik n×n×n da si_{}e wpisać różne liczby całkowite tak, by w każdym sześcianiku jednostkowym była jedna liczba i by suma liczb w n sześcianikach na osi równoległej do kraw_{}edzi sześcianika była równa 0.